3-3-1函数的单调性与导数综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上是A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(0，2π)上递增．故选A.答案A2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是A.(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞)D．(－3，1)解析y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－30，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.结合选项可知，只有D项满足．答案D5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，则当x<0时，有1A．f′(x)≥0B．f′(x)>0C．f′(x)≤0D．f′(x)<0解析 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图像关于原点对称， 当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数，当x<0时，f(x)也为增函数，∴f′(x)>0.答案B6．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为；由y′<0，得函数f(x)的递减区间为，又由题意知此函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，故0，解得10；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.解析对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．答案③三、解答题(共35分)10．(10分)求函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．解析函数的定义域为{x|x≠0}．当a>0时，f′(x)＝1－＝，令f′(x)>0，解得x<－或x>.令f′(x)<0，解得－0，所以x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)；令f′(x)<0，得x∈(1，2)，故函数f(x)的单调减区间为(1，2)．(2)由题意可知m≤f′(x)min，又因为f′(x)＝3－≥－，所以m≤－.故m的最大值为－.12．(15分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．解析(1)当a＝3时...
