课时跟踪检测（二十九）平面向量基本定理及坐标表示[A级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝解析：选BA选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－1B．－2C．－3D．－4解析：选C a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，∴b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a＋b＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又 c＝(x,3)，(2a＋b)∥c，∴－1×3－x＝0，∴x＝－3.故选C.4．(2019·兰州模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝()A.B.C.D.解析：选B因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sinθ＝±，故锐角θ＝.5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设AC＝a，BD＝b，则AF＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，∴DF＝DC＝(OC－OD)＝(AC－BD)，AD＝OD－OA＝BD＋AC.则AF＝AD＋DF＝＋(AC－BD)＝BD＋AC＝a＋b.故选B.[B级保分题——准做快做达标]1．(2019·福州期末)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则|c|＝()A.B．3C.D.解析：选B a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴c＝2a－b＝(3,3)，∴|c|＝＝3，故选B.2．(2019·长沙一模)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－B.C.D.解析：选AAB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)． A，B，C三点共线，∴AB，AC共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos2α＝()A.B．－C.D．－解析：选C a∥b，a＝，b＝(cosα，1)，∴－tanα·cosα＝0，∴sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选C.4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝()A.B.C.D．2解析：选B以点A为坐标原点，分别以AB，AD的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以AC＝(2,2)，AM＝(2,1)，BD＝(－2,2)，所以λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC＝λAM＋μBD，所以解得所以λ＋μ＝.故选B.5．(2019·邹城期中)在△ABC所在平面上有三点P，Q，R，满足PA＋PB＋PC＝AB，QA＋QB＋QC＝BC，RA＋RB＋RC＝CA，则△PQR的面积与△ABC的面积之比是()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5解析：选B由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PC＝－PB＋AB，即PA＋PC＝AB＋BP＝AP，∴PC＝2AP，则P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q，R的位置．∴△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则S△PQR＝S△ABC－××bsinA＋×c×sinB＋×a×sinC＝S△ABC－×3S△ABC＝S△ABC，∴△PQR与△ABC的面积比为1∶3.故选B.6．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m,3m－4)，b＝(1,2)，且平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，4)B．(4，＋∞)C．(－∞，4)∪(4，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m,3m－4)，b＝(1,2)，则m×2－(3m－4)×1≠...
