第1课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题1．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为
(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求PA·F2C的取值范围．解析：(1)由题意知＝，·2c·b＝，a2＝b2＋c2，解得c＝1，a＝2，b＝
所以椭圆M的标准方程是＋＝1
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m
将y＝kx＋m，代入＋＝1得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0
则x1＋x2＝－，x1x2＝
因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，即＝，整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以2k－(m－k)－2m＝0，解得m＝－4k
所以直线AB：y＝k(x－4)，与x轴交于定点P(4,0)．因为y＝3－x，所以PA·F2C＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝2－
因为－20)的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心率为，短轴长为2
(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形．解析：(1)由已知，得＝，b＝，又c2＝a2－b2，故解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1
(2)证明：由(1)，知F1(－1，0)，如图，易知直线MN不能平行于x轴，所以令直线MN的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝
此时|MN|＝
