课时跟踪检测（五十四）定点、定值、探索性问题一保高考，全练题型做到高考达标1．如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点，△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.(1)求椭圆C及圆M的方程；(2)若点D是圆M劣上一动点(点D异于端点A1，B2)，直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F.①求的最大值；②试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知B2(0,1)，A1(－，0)，所以b＝1，a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.易得圆心M，A1M＝，所以圆M的方程为2＋y2＝.(2)设直线B1D的方程为y＝kx－1，与直线A1B2的方程y＝x＋1联立，解得点E.联立消去y并整理，得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得点G.①＝＝＝＝1－＝1＋≤1＋＝，当且仅当k＝－时等号成立．所以的最大值为.②易得直线B2G的方程为y＝x＋1＝－x＋1，与直线A1B1的方程y＝－x－1联立，解得点F，所以E，F两点的横坐标之和为＋＝－2.故E，F两点的横坐标之和为定值，该定值为－2.2．(2016·盐城二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过一个定点．解：(1)由题意得解得所以椭圆的方程为x2＋2y2＝1.(2)设B(m，n)，C(－m，n)，则S△ABC＝·2|m|·|n|＝|mn|.又1＝m2＋2n2≥2＝2|mn|，所以|mn|≤，当且仅当|m|＝|n|时取等号，从而S△ABC≤.所以△ABC面积的最大值为.1(3)证明：因为A(－1,0)，所以直线AD：y＝k1(x＋1)，直线AE：y＝k2(x＋1)．联立消去y，得(1＋2k)x2＋4kx＋2k－1＝0，解得x＝－1或x＝，故点D.同理，E.又k1k2＝2，故E.故直线DE的方程为y－＝·，即y－＝·，即y＝x＋.所以2yk－(3x＋5)k1＋4y＝0.则令得直线DE恒过定点.3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l：x－my－1＝0(m∈R)过椭圆C的右焦点F交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程．(2)已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)在x－my－1＝0中，令y＝0，则x＝1，所以F(1,0)．由题设，得解得从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)令m＝0，则A，B或A，B.当A，B时，P；当A，B时，P.所以满足题意的定直线l2只能是x＝4.下面证明点P恒在直线x＝4上．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1)在直线BD上．由消去x，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0.因为Δ＝144(1＋m2)>0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.①因为kDB－kDP＝－＝－＝＝.将①式代入上式，得kDB－kDP＝0，所以kDB＝kDP.所以点P(4，y1)在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x＝4三线恒过同一点P，所以存在一条定直线l2：x＝4，使得点P恒在直线l2上．4.如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A，B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．(1)设P是椭圆C上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M，N是椭圆C上两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．解：(1)证明：易求A(2,1)，B(－2,1)．2设P(x0，y0)，则＋y＝1.由＝m＋n，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝－.平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.因为直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1.故△OMN的面积为定值1.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2015·苏锡常镇、宿迁一调)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P.(1)求椭圆C的方程；...
