高二数学 不等式的应用典型例题分析VIP专享VIP免费

不等式的应用·例题例5-4-1求下列函数的定义域：解(1)所求定义域是下列不等式组的解：(2)所求定义域确定于不等式组：由上图可知，当且仅当k=0，1时，不等式组有解，其解集为(-5，-π)∪(1，π]，此即所给函数的定义域。例5-4-2求下列函数的值域：解(1)原式两边乘以x2+1，再移项、整理，得用心爱心专心1(y-1)x2-2x+(y+1)=0当y≠1时，因x∈R，故上式作为x的二次方程，其判别式非负，即等号成立)。当y=1时，相应地有x=1，故y=1也属于定义域。所给函数的值域为[2，+∞)。也可利用判别式求解。读者不妨试试。注利用判别式求值域要注意两点：(i)二次项的系数不得为零。如果有可能为零，则对于使系数为零的y值，应检验它是否属于函数值域，即是否存在相应的x值与之对应。如果不存在，则函数的值域不包括此y值。(ii)不等式“△≥0”中的等号是否可取，可取则此法有效，不可取+∞)，而用判别式法，则由△=y2-4≥0(y＞0)得[2，+∞))，值域扩大了。用心爱心专心2例5-4-3求下列函数的值域：解(1)[法一]原式两边平方并整理，得所以y2≥1；又y≥0，所以y≥1(当x=0，1时取等号)。另一方面，两边再次平方并整理，得4x2-4x+(y2-1)2=0[法二]函数的定义域为0≤x≤1。由幂平均不等式，有[法三]两边平方并整理，得用心爱心专心3是，1-x=cos2θ，所给函数可化为y=sinθ+cosθ，即(2)所给函数可表示为此函数在[0，+∞)内递减，故有y≤1。注对于(2)，采用平方法易导至错误结果：x2-(2y-1)x+(y2-1)=0用心爱心专心4a的取值范围。解[法一]f(x)有意义等价于a≠0，且1+2x+1a-4x＞0(x≤-1)。二次方程t2-2at-1=0的判别式Δ=4a2+4＞0，因此它有两个相异的[法二]由1+2x+1a-4x＞0得用心爱心专心5含义，这是容易出错的疑难点．∈R，使得不等式对一切实数x都成立？证明你的结论．由(i)，(ii)得由(i)，(iii)得用心爱心专心6故a≠1，且容易验证，这时f(x)的确使得对一切x∈R都成立，故命题得证．注以上证明中两次用到命题“若x≥a且x≤a，则x=a．”这种由双向不等式得出等式的方法，是数学的基本证题技巧之一．例5-4-6已知圆锥的高为h，母线与轴的夹解为θ．在此圆锥内作一个内切球O1，再作一个与圆锥侧面相切并与球O1外切的小球O2．若θ使球O2的体积最大，求出这时的sinθ．分析欲得球的体积最大，须使其半径最大．解圆锥的轴截面如图所示．设球O1的半径为x，球O1与母线OA切于T，则O1T=x，OO1=h-x．因∠O1OA=θ，故用心爱心专心7设球O2的半径为y，球O2与球O1相切于P．类似地，有t的方程，得(z+1)t2+(2z-1)t+z=0时，用心爱心专心8例5-4-7设x，y，z∈R．在实数集内解下列方程和方程组：(1)(x2+1)(y2+2)(z2+8)=32xyz解(1)由平均值不等式知两处“≥”中等号同时成立的条件是x2=1，y2=2，z2=8，且x，y，z或者三者都为正，或者两负一正．故原方程有4解(2)由x2+y2≥2|xy|，y2+z2≥2|yz|，z2+x2≥2|zx|可得x2+y2+z2≥|xy|+|yz|+|zx|≥xy+yz+zx两处等号同时成立的条件是：|x|=|y|=|z|，且x，y，z三者或同时为零，或同时为正数，或同时为负数．在此条件下，第二个方程化为2x2-注以上利用不等式中等号成立的条件解方程或方程组，具有出奇制胜的效果．例5-4-8民用住宅设计，规定窗户面积必须小于地面面积．但按采光标准，窗户面积与地面面积的比值应不小于1∶10，比值越大，采光条件越好．如果同时增加相等的窗户面积和地面面积，问采光条件会变好还是变坏？说明理由．解设窗户面积为a，地面面积为b，增加的面积为m，则有0＜用心爱心专心9故采光条件会变好．用心爱心专心10