初三数学相似三角形的性质例题解析一.本周教学内容：相似三角形的性质二.重点、难点：应用相似三角形的性质进行有关的计算与证明是本周的重点。应用相似三角形的知识时，由于知识的综合程度较高，对分析思维的能力有一定的要求。所以是学习的难点所在。【知识回顾】一.相似三角形的性质。1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2．相似三角形的对应的高，中线和对应的角平分线以及周长之比都等于相似比。3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方。二.与相似三角形有关的辅助线主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线。例1.如图，ABBC，CDBC，B，C是垂足，AC，BD交于P。过P作PQBC于Q。求证：AQP=PQD分析：由已知ABBC，CDBC，PQBC，则AB‖PQ‖DCAQP=QAB，PQD=QDC又已知RtABQ和RtDCQ只须证明RtABQ∽RtDCQ即可证明：AB‖PQ‖DC==，=∴PQ·BC=AB·CQ=CD·BQ∴AB·CQ=CD·BQ即又ΔABQ，ΔDCQ均为直角三角形∴RtΔABQ∽RtΔDCQ∴∠BAQ=∠CDQ∴∠AQP=∠PQD例2.如图，ΔACB中，∠ACB=90º，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F求证：BF=CD分析：∠C=∠EBA=90º，∠BAE=∠CAD∴RtΔACD∽RtΔABE又易知∠ABC与∠FBE互余，且∠C=∠F=90º∴RtΔACB∽RtΔBEF∴只须寻找与线段AB，BE“相关”的比例式即可证明：RtΔACD与RtΔABE中，∵∠CAD=∠BAE∴RtΔACD∽RtΔABE∴∴CD=…①又BE⊥AB，BF⊥AC∵∠FBE=∠CAB∴RtΔACB∽RtΔBFE∴∴BF=…②∴由①②知：BF=CD例3.如图，梯形ABCD中，AD//CB对角线AC，BD相交于点O，设梯形ABCD的面积为S，ΔAOD，ΔBOC，ΔAOB的面积分别为S，S和S证明：，是方程X-X+S=0的两实数根ABDCOS1S3S2分析：本题实质上是证明+=且=S，即已知S，S，求S和S，由相似三角形和同底上三角形的面积比的性质，将面积比转换为线段之比即可证明：∵=，∴∵AD//BC∴ΔAOD∽ΔCOB∴∴=1∴SS=，即=S…①又S=S+S+2S=S+2+S=（+）∴+=…②∴由①②可知，，是方程X-X+S=0的两个实数根（答题时间：25分钟）1.ΔABC中，D、E分别为AB、AC的中点，连DE则ΔADE与ΔABC的周长之比为________;它们的面积之比为________2.两个相似三角形的面积之比为9：4，若较大三角形的一个内角的平分线长6cm，则另一个三角形对应角的平分线长为_________3.如图，平行四边形ABCD中，E在CD上，DE：CE=2：3连AE、BE、BD且AE、BD相交于点F，则SΔDEF:SΔEBF:SΔABF为（）Ａ.４∶10∶25B.4∶9∶25C.2∶3∶5D.2∶5∶254.正方形ABCD中，E为CD的中点，F在BC上，且CF∶BC=1∶4，求证：5.如图平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R，求证：AP=PQ·PR6.如图AB、CD表示垂直于地面L的两根标杆，AD、BC为两根绳索，P为绳索的交点，现在若沿地面L任意平行移动标杆AB或CD，则点P的高度会否发生变化？说明你的理由[参考答案]1.1：2，1：42.4cm3.A4.由，∠C=∠D可知ΔCEF∽ΔDAE∴5.提示：由ΔAPB∽ΔDPR，得…①由ΔBPQ∽ΔDAP，得…②∴由①②知，，即AP=PQ·PR6.不会。提示：不妨设AB=a，CD=b，BD=x且过P作PE⊥BD于E易证ΔABD∽ΔPED∴同理∴=∴PE=为定值
