§6.2.2算术平均数与几何平均数(二)VIP专享VIP免费

§6.2.2算术平均数与几何平均数(二)教学目的：1.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用.教学难点：解题中的转化技巧.一、复习引入：1.重要不等式：22,R,2("")abababab如果那么当且仅当时取号2.定理：+,R,("").2abababab如果那么当且仅当时取号3.公式的等价变形：222,R,,()22ababababab如果那么,,2abababab称为的算术平均数；称为的几何平均数。4.0,2("")baababab如果那么当且仅当时取号5.定理：+333,,R,3("").abcabcabcabc如果那么当且仅当时取号6．推论：+3,,R,("").3abcabcabcabc如果那么当且仅当时取号7.两个概念:n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1、a2、…、an>0，且n>1，那么12(1)naaann称为这个正数的算术平均数；12(2)nnaaan称为这个正数的几何平均数。121212(,,,)nnnnaaaaaaaaaRn例1.已知x、y都是正数，求证：(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值;2P(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值.412S证明：因为x,y都是正数，所以xyyx2(1)积xy为定值P时，有Pyx2Pyx2上式当x=y时，取“=”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值P2(2)和x+y为定值S时，有,2Sxy上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值241S241Sxy三、讲解范例：(1)两个正数的和为定值，其积有最大值.(2)两个正数的积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：ⅰ)函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ)等号成立条件必须存在.一正，二定，三相等结论:利用均值定理求最值例2.求函数y=11xx(x>0)的最小值，并求相应的x的值解：111)1(11xxxxy∵x0，∴x+1>0，011x由x+1=11x得x=011xx(x0)有最小值，最小值是y=1∴当x=0时y=112111)1(xxy例3.求函数41622xxy的最大值3)1(164162222xxxxy解：131622xx3213122xx∵3326y22,131222xxxx即当且仅当时取得最大值例4.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：∵x2+y22xy，∴2(x2+y2)(x+y)22)(222yxyx∵x+y=2，∴x2+y22即x2+y2的最小值为2当且仅当x=y=1时取得最小值1．求函数y=(13x)x(00,y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值．5．求函数y=12xx3的最值，下面解法是否正确？为什么？解：∵2x+62322xx则621y∴ymax=621x3书面作业课堂练习<<教材>>练习2.3.4<<教材>>习题6.2–6.7