一数学归纳法VIP免费

2.3数学归纳法复习归纳法：结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法又可分为完全归纳法和不完全归纳法数学归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法问题思考：已知11a且*121()nnaanN，求通项公式na.解: 11a∴21212113aa32212317aa432127115aa5421215131aa………可从简单情形出发观察、归纳、猜想=121=221=321=421=521∴所求通项公式为*21()nnanN上面的解答是否正确?(不完全归纳法)不完全归纳法,可以帮助我们发现规律,但不够严密.数学归纳法费马(Fermat)曾经提出一个猜想：形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数0,31,52,173,2574,65537nnnnnnFnFnFnFnF……100年后…542949672976700417641F费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。费马您错了!不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能保证猜想正确.你玩过多米诺骨牌游戏吗？能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。其中道理可用于数学证明──数学归纳法.问题思考：已知11a且*121()nnaanN，求通项公式na.怎么证明我们的猜想呢?播放视频1播放视频2思考:已知11a且*121()nnaanN，求通项公式na.我们运用不完全归纳法得出猜想:21nna,怎么严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.多米骨牌游戏的原理尝试证明猜想21nna的方法⑴第一块骨牌倒下.(奠基)(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下.(传递性)根据(1)和(2),可知不论有多少块骨牌,都能全部倒下.⑴当1n时猜想成立.⑵假设当nk时猜想成立.即21kka那么,当1nk时121kkaa∴1121kka猜想也成立.∴由⑴、⑵可知当*nN时21nna这种一种严格的证明方法──数学归纳法.1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)；2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立.(归纳奠基）数学归纳法:关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！(归纳递推）注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可.验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立．研究等式1123(1)12nnn：是否成立因为⑴假设当nk时等式成立，1123(1)12kkk即那么，当1nk时，左边=123(1)kk11(1)1(1)(1)(2)122kkkkk即当1nk时等式也成立.⑵故原等式对任意*nN成立.所以上面等式对一切正整数都成立.思考1：下面的推理是否正确?错在没有奠基等式思考2：下面用数学归纳法证明的过程是否正确:2121211*1222211121222211122211221121nnkkkkknknknknN证明：当时，左边右边；假设成立，即那么时，左边所以时也成立；故原命题对任意成立错在第二步证明没有用上假设用上假设,递推才成立数学归纳法具体应用：例1.用数学归纳法证明：第二步证明是关键:1.要用到归纳假设作为理由.2.看清从k到k＋1中间的变化.1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N）.例1:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N）.证明:(1)当n=1时,左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时结论正确；验证初始条件(2)假设n=k时结论正确,在假设之下,证明n=k+1时结论也正确；假设推理(3)由（1）、（2）得出...