1.3.2极大值与极小值1)如果在某区间上f(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数,2)如果在某区间上f(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.导数与函数的单调性的关系:一般地,设函数y=f(x),知识回顾:如图,为定义在(x1,x11)的函数f(x)的导函数f'(x)的图像你能读出函数f(x)的单调区间吗?xx1x11观察右图中M点附近(1)从左到右的变化趋势:先_____后____导数的符号先___后___(2)在M点附近,其位置____函数值____(1)从左到右的变化趋势:先____后___导数的符号先___后___(2)在N点附近,其位置_______函数值_____观察右图中N点附近(3)函数f(x)在点x2处的导数值是_____(3)函数f(x)在点N处的导数值是_____最小称x2为函数f(x)的极小值点,f(x2)为函数f(x)的极小值称x3为函数f(x)的极大值点,f(x3)为函数f(x)的极大值知识引入减减增增负正正负最低最高最大00函数极值的定义1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其它各点的函数值都小,就称f(a)是函数的一个极小值,点a叫做极小值点。2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其它各点的函数值都大,就称f(b)是函数的一个极大值,点b叫做极大值点。3)极大值点与极小值点统称为极值点.4)极大值与极小值统称为极值.理解定义在定义中,取得极值的横坐标所对应的x轴上的点称为极值点,极值点是自变量(x)的值,极值指的是函数值(y)1.极值点|极值2.极值是函数的最值吗?极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小。即:极大值不一定等于最大值,极小值不一定等于最小值。3.函数的极值只有一个吗?函数的极值不是唯一的。在某区间内极值可能是0个,也可能是多个。4.极大值一定比极小值还大吗?极大值与极小值没有必然的大小关系,即:极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小。5.函数在某区间内是单调增函数(或单调减函数),该函数在此区间内有极值吗?没有!探究函数的极值与其导数的关系oax0bxyoax0bxy1.极值点两侧函数图像单调性有何特点?单调性相反2.极值点两侧函数的导数符号有何特点?极值点两侧导数符号相反3.极值点与函数的单调区间有何关系?极值点是单调区间的分界点4.如果函数在极值点处可导,则极值点处的导数有何特点?极值点处的导数为05.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?你能举出反例吗?导数为0的点,不一定是该函数的极值点。如f(x)=x3f'(x)=3x2,虽然f'(0)=0,但是由于x=0处左右两侧的导数都大于0,故x=0不是函数的极值点f(x0)=0x0是函数f(x)的极值点.xf(x)f(x)据探究结果,填表格:yxax1x2b导数与极值的关系:(a,x1)x1(x1,x2)x2(x2,b)-0-+极小值极大值0左“-”右“+”极小值左“+”右“-”极大值例1:求f(x)=x2-x-2的极值.解:f(x)=2x-1,2121f(x)有极小值f()=因此,当x=时,214921令f(x)=0,解得x=xf(x)f(x)21(-∞,)-+0极小值21(,+∞)例题的极值求函31431:23xxf(x)数例f(x)f(x)x∴当x=2时,f(x)极小值=-5;当x=-2时,f(x)极大值=.(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值极小值-5173解:f(x)=x2-4,由f(x)=0解得x1=2,x2=-2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:总结求函数的极值的步骤:④列表格;下结论。①确定函数的定义域;②求导数)(xf③求方程)(xf=0的根,(这些根可能是极值点);)2,0(,ln)()3(1)()2(1623)()1(23xxxxfxxxfxxxxf练习:随堂练习本节课主要学习了哪些内容?1.极值的判定方法.2.极值的求法.注意点:1.f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件3.数形结合以及函数与方程思想的应用2.要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.)(xf④列表格;下结论①定义域;②求导数③求)(xf=0的根课堂小结