多面体与球的内切和外接常见类型归纳VIP专享VIP免费

多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一．正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为a，r为内切球的半径，R为外接球的半径。则高SE=a,斜高SD=a，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则在r=。R=SO=OB=特征分析：1．由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。2．R=3r.r=R=。此结论可以记忆。例题一。1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）分析：借助结论，R===,所以S=4=3。2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（）分析：借助R=3r，答案为9：1。二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。1CBDAOSEFSACOBOCBASSA因为SAAC，SBBC，球心落在SC的中点处。所以R=。三．正方体与球。1．正方体的外接球即正方体的8个定点都在球面上。关键找出截面图:ABCD为正方体的体对角面。设正方体的边长为a，则AB=a，BD=2R，AD=a，R=a。C2．正方体的内切球。（1）与正方体的各面相切。如图：ABCD为正方体的平行侧面的正方形。R=（2）与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形ABCD的外接圆。AB=CD=a，R=a。3．在正方体以一个顶点为交点的三条2AOBDBACDADBCCD棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=，S=12。2．一个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，则球的体积解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==1==V=3．将棱长为1的正方体削成体积最大的球，则球的体积为解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=，V=。4．P、A、B、C、是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以R=，V=。四、正棱柱与球1．正三棱柱外接球。如图所示：过A点作AD垂直BC,D为三角形ABC的中心，D1同样得到。则球心O必落在DD1的中点上。利用三角形OAD为直角三角形，OA=R,可求出R.2.正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。3BACC1A11B1D11DO例题：1。已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是解析：如上图，OA=,OD=，AD=，可求a＝6，V=54.2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为解析：截面如图：ABCD为正四棱柱的体对角面OD=R，设AD=a，底面正方形的边长为b，则有DC=b，则R2=（a/2）2+（b/2）2，S=4ba=。五、长方体与球1．长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以R=，S=50。4CBADOCBADO5