第一章遇角平分线常用辅助线【添法透析】角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边二．角边相等，可造全等三．平分加平行，可得等腰形四．平分加垂线，补得等腰现一．点在平分线，可作垂两边角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等．如图，若OP是∠AOB角平分线，PE⊥OA，可过P点作PF⊥OB，则可用结论有：（1）PF=PE；（2）证得△OPF≌△OPE；（3）证得OF=OE．例1．已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC．邦德点拨：过点D作DE⊥AB，则DE=CD，AE=AC，再利用方程思想、勾股定理解AC．练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP平分∠BAC．EAPOBFBEDCA二．角边相等，可造全等在角的两边取相等线段，可得全等三角形．如图，若OP为∠AOB角平分线，可在OB上取OF=OE，则可用结论有：（1）证得△OPF≌△OPE；（2）证得PF=PE，OF=OE；（3）证得∠PFO=∠PEO，∠OPF=∠OPE．例2．已知如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD．邦德点拨：在BC上截取BF=BA，问题转化为证CF=CD．练习2．已知如图，AD是△ABC的内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．三．平分加平行，可得等腰形1．过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似；如图，若OP是∠AOB平分线，过P点作OB平行线交OA于E点，可用结论：证得△EOP是等腰三角形．如图，若AD是∠BAC平分线，过C点作AB平行线交直线AD于E点，可用结论有：（1）证得△EOP是等腰三角形；ABCEDPAEPFBOAPDCBEDAFCBEPOBAADCB（2）证得△CDE∽△ADB；（3）CDBDACAB．2．过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形．如图，若OP为∠AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F，则可用结论有：（1）证得△OEF是等腰三角形；（2）证得∠E=21∠AOB．例3．已知如图，在△ABC中（ABAC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC，求证：AE平分∠BAC．邦德点拨：过C点作AB平行线交AE延长线于点G，则∠G=∠BAE，接下只需证∠G=∠CAE．练习3．已知如图，过△ABC的边BC的中点D作∠BAC的平分线AG的平行线，交AB、BC及CA的延长线于点E、D、F．求证：BE=CF．四．平分加垂线补得等腰现从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形．如图，若OP是∠AOB平分线，EP⊥OP，则可延长EP交OB于F点，可用结论有：（1）证得△OEF是等腰三角形；（2）P是EF中点．例4．如图，ΔABC中，过点A分别作∠ABC,∠ACB的外角的平分线的垂线AFEPOBFEABOPAEDFGCBAEFBCDGFAEBCGDAD、AE，D、E为垂足．求证：（1）ED//BC；（2）ED=21（AB+AC+BC）．邦德点拨：延长AD、AE交直线BC于F、G，可证得△BAF、△CAG为等腰三角形．练习4．已知如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE．【homework】1．已知如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE//AB，FD//AC．如果BC=6，求△DEF周长．2．已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD．求证：AC平分∠BAD．ADECBADFECBBADC3．已知如图，∠BAD=∠CAD，AB>AC，CD⊥AD于点D，H是BC中点，求证：DH=21(AB-AC)．4．如图，ABC中，AM平分A，BD垂直于AM，交AM延长线于点D，DE∥CA交AB于E．求证：AE=BE．5．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD．ABHDCAECMBDAEBDC
