1/4专题复习:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用；下面我精选一部分“含”三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点DEF、、分别是ABC的三边BCCAAB、、的中点，请探究DEF的周长与ABC的周长的关系？分析:点DEF、、分别是ABC的三边BCCAAB、、的中点，可知：,,,111EFBCDEABDFAC222∴()1EFDEDFBCACAB2所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.练习：以上面的图为例，若DEF的周长为16cm，则ABC的周长为.⑵.面积关系如图点DEF、、分别是ABC的三边BCCAAB、、的中点，请探究DEF的面积与ABC的面积关系？略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EFBCDFACDEABEFBCDFACDEAB222；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF、AFE、FBD、DEC是全等的，故它们的面积是相等的，则ABCS=DEF4S.所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14.说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了.练习：以上面的图为例，若ABC的面积为216cm，则DEF的面积为.2、中点四边形顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形是有规律可循的.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：⑴.原四边形的对角线既不相等也不垂直，其中点四边形是个一般的平行四边形.如图⑴，点EFGH、、、分别是四边形ABCD的四边的中点，试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点EFGH、、、分别是ABCD的四边的中点易知：,EHBDGFBDEHGF同理：HGEF;故中点四边形EFGH的形状是平行四边形.（还有其它方法证明）⑵.原四边形的对角线相等但不垂直，其中点四边形是个菱形.如图⑵，点EFGH、、、分别是四边形ABCD的四边的中点，且ACBD,试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点EFGH、、、分别是ABCD的四边的中点易知：易证点四边形EFGH的形状是平行四边形，由,11EHBDEFACEHEF22；故中点四边形EFGH是个菱形.⑶.原四边形对的角线垂直但不相等，其中点四边形是个矩形.如图⑶，点EFGH、、、分别是四边形ABCD的四边的中点，且ACBD试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点EFGH、、、分别是ABCD的四边的中点易知：易证点四边形EFGH的形状是平行四边形，由,EHBDEFAC可以进一步推得HEF90,故中点四边形EFGH是个矩形.⑷.原四边形对的角线既垂直又相等，其中点四边形是个正方形.如图⑷，点EFGH、、、分别是四边形ABCD的四边的中点，且ACBDACBD，，试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由⑵和⑶的方法推理易得点四边形EFGH既是菱形又是矩形，故中点四边形EFGH是个正方形.（还有其它方法证明）练习：1.顺次连结平行四边形四边中点所构成的中点四边形的形状是；EDFABCEDFABCFEHGDABC图（1）HGFEDACB图（2）HGFEDBAC图（3）HGFEBACD图（4）2/42.顺次连结矩形四边中点所构成的中点四边形的形状是；3.顺次连结菱形四边中点所构成的中点四边形的形状是；4.顺次连结正方形四边中点所构成的中点四边形的形状是；5.顺次连结对角线互相垂直等腰梯形的四边中点所构成的中点四边形的形状是.3、三角形的中位线与梯形⑴.连结梯形两腰中点的线段（梯形的中位线）与两底的关系.如图，梯形ABCD中，ADBC,EF、分别是两腰ABDC、的中点，请探究EF与ADBC、的关系.分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决.连结AF延长交BC的延长线于G点.根据题中条件易证ADF≌GCF,得：AFGFCGAD，吧在ABG中，由,AEBEAFGF可以推出,1EFBGEFBG2.可以进一步得出：,,1EFBCEFADEFADBC2.结论：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.⑵.连结梯形两对角线中点的线段与两底的关系.如图，梯形ABCD中，,ADBCBCAD,EF、分别是两对角线ACBD...
