1/41.5三角形全等的判定专题一利用全等探究线段数量关系1.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．2.如图，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F.⑴根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．⑵EF平分∠DEC吗？为什么？3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．专题二综合探究题4.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结2/4论．课时笔记【知识要点】1.全等三角形的判定三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．2.三角形的稳定性当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.3.线段的垂直平分线的概念与性质概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.4.角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.【温馨提示】1.线段的垂直平分线是一条直线，不是射线也不是线段.2.证明两个三角形全等，需写出所需的三组条件，并用大括号括在一起，注意对应位置.3.书写证明过程要注意格式，即：①准备条件：把题中没有直接的条件证明出来；②指明范围：在哪两个三角形中；③摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好；④得出结论：得出三角形全等的纵论．【方法技巧】1.要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决.2.要充分挖掘隐含条件，如公共边，当公共边是对应边时，它们是相等的．3.需要抓住图形特征，有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件，从而证两个三角形全等．参考答案：1.解：PC=PD．证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F．3/4可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF．又 ∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°，∴∠EPC=∠FPD．∴△CPE≌△DPF（ASA）．∴PC=PD．1.解：⑴可以直接证明△ABC≌△DCB． AB＝DC，AC＝BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．⑵ △ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC．又 EF∥BC，∴∠ACB=∠FEC，∴∠DBC=∠DEF，即∠FEC=∠DEF．∴EF平分∠DEC．2.证明：（1）BH=AC. CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°. ∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC， ∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD.在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG， ∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD. F为BC的中点，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG. ∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2. CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．3.解：（1）AF=BD.证明如下： △ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.在△BC...
