三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O为ABC△内一点，则有：0OCSOBSOASOABOCAOBC证明：延长AO交BC于D，如图必有：||||OAODSSSOABOCAOBC，||||BCBDSSSOABOCAOAB，||||BCCDSSSOABOCAOCA；---（*）由DOA,,共线，得：0||||ODODOAOA进而得：0||||ODOAOAOD----------------①由CDB,,共线，得：OCBCBDOBBCCDOD||||||||----------②由①②得：OAOAOD||||0||||||||OCBCBDOBBCCD代入（*）结论得OASSSOABOCAOBCOBSSSOABOCAOCA0OCSSSOABOCAOAB消去分母得：0OCSOBSOASOABOCAOBC证毕.另证：作ACOGABOH//,//，如图：AGOH为平行四边形；由OCSOBSOASOABOCAOBC)()(ACOASABOASOASOABOCAOBCACSABSOASOABOCAABC)(ACSSABSSOASABCOABABCOCAABC)(ACACAHABABAGOASABC)(AHAGOASABC0)(AOOASABC．反方向思考：设O在ABC的内部，若有正实数321,,满足：0321OCOBOA，ABCODABCODHFEG必有：AOBCOABOCSSS::::321．证明：作：OAOA1'，OBOB2'，OCOC3'则'OA'OB0'OC，则O为'''CBA的重心，则：''''''OBAOACOCBSSS.设为S又SSSSSSSSSAOBOBACOAOACBOCOCB2!''13''32''从而得：AOBCOABOCSSSSSS::::::211332321．验证式思考：先证引理：若ba,不共线，对p，有0pa且0pb，必有.0p证明：若.0p必有pa且pb，得ba//，与题设矛盾，故必有.0p再证：设BOC，COA，则2AOB；由)(OCSOBSOASOAOABOCAOBCOCOASOBOASOASOABOCAOBC2cos)2sin(21)2cos(sin21sin212OCOAOBOAOBOAOAOCOAOCOB]cos)sin()cos(sin[sin212OCOBOA)]}(sin[{sin212OCOBOA0)]sin([sin212OCOBOA；有对称性知：0)(OCSOBSOASOBOABOCAOBC，又OA，OB不共线，故：必有0OCSOBSOASOABOCAOBC成立．一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G是ABC△的重心)(31ACABAG0GCGBGA)(31OCOBOAOG(O为该平面上任意一点)略证：1:1:1::GABGCAGBCSSS，得：0GCGBGA．变式：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．则0CFBEAD．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O是ABC△的外心222||||||OCOBOAOCOBOA02sin2sin2sinOCCOBBOAA略证：CBASSSOABOCAOBC2sin:2sin:2sin::，得：02sin2sin2sinOCCOBBOAA'A'B'COABCABCO常用结论：O是ABC△的外心.2||;2||22ACAOACABAOAB三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H是ABC△的垂心HAHCHCHBHBHA222222||||||||||||ABHCCAHBBCHA0tantantanHCCHBBHAA略证：CBASSSHABHCAHBCtan:tan:tan::，得：0tantantanHCCHBBHAA扩展：若O是ABC△的外心，点H满足：OCOBOAOH，则H是ABC△的垂心．证明：如图：BE为直径，H为垂心，O为外心，D为BC中点；有：为平行四边形AHCEEACHABEAABCHECAHBCECBCAH////进而得到：,//ECAH且ECAH，即：ECAH；又易知：OCOBODEC2；故：OAOHOCOBAH，即：OCOBOAOH．又：OGOCOBOA3（G为重心），故：OGOH3；故：得到欧拉线：ABC△的外心O，重心G，垂心H三点共线(欧拉线)，且GHOG21．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I是ABC△的内心0||||0||||0||||CBCBCACACIBCBCBABABIACACABABAI0||||0||||0||||CACABCBCCIBABACBCBBIACACBABAAI0ICcIBbIAacbaOCcOBbOAaOI0sinsinsinICCIBBIAA注：式子中|||,||,|ABcCAbBCa，O为任一点．略证：CBAcbaSSSIABICAIBCsin:sin:sin::::，得之．五．欧拉线：ABC△的外心O，重心G，垂心H三点共线(欧拉线)，且GHOG21．（前已证）测试题一．选择题ABDOHCE1．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心2．(03全国理4)O是ABC所在平面上一定点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心3．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，R，则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心4．O是ABC所在平面上一定点，动点P满足)sinsin(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的()A．外心B．...
