数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.【例1】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．【例2】已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.【分析】本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅为、，当时，满足是一个质数的数有，，，，，时，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合；当，满足是一个质数的数有，，，，，，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合．第5讲数论(一))教学目标专题回顾专题精讲【例1】个连续的自然数之和为，若、、、都是质数，则的最小值是多少？【分析】遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这个连续自然数中最小的一个是，则最大的一个是(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：，则是质数，所以的最小值是．的最小值是：.［拓展］101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______．［分析］设这个自然数中最小的数为，则101个连续自然数的和为：+(+1)+(+2)+……+(+100)=(++100)×1012=(+50)×101因为101是质数，所以+50必须是3个质数的乘积，要使和最小．经检验+50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．［铺垫］已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？［分析］因为□△□△□△□△，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△．作质因数分解得，由此可知该数分解为个两位数乘积的方法仅有．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=，□〇=，☆△=．即〇=，△=，□=，☆=，所求的四位数是．【例2】为自然数，且，、……、与690都有大于l的公约数．的最小值为_______．【分析】，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数．所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则、、、、是偶数，剩下的4个数中、是3的倍数（5个偶数当中只有是3的倍数），还有、一个是5的倍数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然是最小解，所以的最小值为19．【例3】已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?【分析】设甲乙两个数为，，(和都不等于1或72),则，两数互质，于是，的最小公倍数为，所以，，由于，互质，所以或不可能在，的因子中都出现，所以，一个是一个是，所以两数的乘积等于，和为分解质因数约数、倍数.【例4】有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除...
