专题研究圆锥曲线与圆VIP专享VIP免费

1/3专题研究圆锥曲线与圆圆锥曲线与圆有着天然的联系,一方面它们可相互产生，另一方面，圆锥曲线的许多性质都与圆有关。1、动圆圆心产生圆锥曲线例1已知如（图1）圆C1：10032yx,点C2(3,0),动圆P过点C2与圆C1内切,求圆心P轨迹方程.分析：由1021PCPC所以P点是以C1、C2为焦点的椭圆,a=5,b=4,c=3其方程为:1162522yx.例2已知如（图2）圆C136522yx,点C2（5,0）,动圆P过点C2与圆C1外切,求圆心P的轨迹方程.分析：621PCPC所以P点的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的一支,其中a=3,b=4,c=5所以P点的轨迹方程为116922yx)0(x.例3已知如（图3）两圆C11322yx,C29322yx分别求出下列情况下动圆心P点的轨迹方程.（1）动圆P与两圆均内切.（2）动圆P与两圆均外切.（3）动圆P与圆C1内切与圆C2外切.（4）动圆P与圆C2内切与圆C1外切.分析：（1）设P（x,y）动圆半径为r因与两圆均内切,故有：11rPC①32rPC②①－②得221PCPC.所以P点在以C1,C2为焦点的双曲线一支上.a=1,b=22,c=3,P点轨迹方程为：1822yx)0(x.C1yxOC2P（图3）y（图1）C1C2PxC1C2Pyx图（2）2/3同理点P轨迹方程：1822yx)0(x.（2）因为动圆P与圆C1内切与C2外切,所以11rPC①32rPC②由①－②得412PCPC,点P在以C1、C2为焦点的双曲线一支上,其中a=2,b2=5,c=3所以点P的轨迹方程为：15422yx)0(x.同理可得动圆P的圆心P点轨迹方程为15422yx)0(x.评：内切、外切这种位置关系的对称反映到轨迹方程上的对称,且是同一个方程所表示的双曲线的不同两支,从中可以看到数与形的和谐与统一.类似的动圆心还可以得出抛物线.例4动圆M在y轴右侧与圆F：1122yx外切,又与y轴相切,求其圆心M的轨迹方程.分析：设M（x,y）由题意知xMF11122xyxx4y2)0(x.2、由圆锥曲线而产生圆例5已知如（图5）椭圆方程C：12222byax)0(ba.P为椭圆上一动点（异于两轴）,F1、F2为两焦点,过F1作∠F1PP2外角平分线的垂线F1M,M为垂足,求M点的轨迹方程.分析：延长F1M与F2P的延长线相交于N,连接OM则OM=21NF2=PNPF221=1221PFPF=aa221所以M点的轨迹方程为222ayx0y.例6已知如（图6）双曲线C：12222byaxP为异于顶点的一动点,过F1作∠F1PF2内角平分线的垂线F1M,M为垂足,求M点的轨迹方程.分析：同理OM=22121PFPNFN=aPFPF212121所以M点的轨迹方程为222ayx.F1OF2NMPxy（图5）OxyMF1NF2P（图6）yOx（图4）FM3/3评：以上两题椭圆、双曲线；外角平分线、内角平分线有关的性质又在圆上得到了统一.3、圆锥曲线与圆有关的性质例7已知如（图7）椭圆方程12222byax)0(ba.点P为它上面一动点,F1、F2为焦点,则以PF2为直径的圆与圆222ayx内切.分析：连接PF1及OM,M为PF2中点2122121PFaPFOM=221PFa所以以PF2为直径的圆M与圆222ayx内切.例8已知如（图8）双曲线C的方程12222byax,F1、F2为左右焦点,P它上面的动点则以PF2为直径的圆M与圆222ayx外切.分析：连接PF1,MO,可得2122121PFaPFOM=221PFa所以圆M与222ayx外切.例9已知如（图9）抛物线22Pxy（x＞０）F为焦点,AB为过焦点F的弦.求：（1）以AB为直径的圆M与准线2Px相切.（2）点A、B在准线上的射影A、B则以BA为直径的圆过焦点F.分析：（1）BBAABFAFABM到准线的距离BBAAMN21AB21MN所以圆M与准线相切.（2）由定义可证090BFA点评:椭圆、双曲线、抛物线他们都可以由平面截圆锥得到,他们的统一定义（平面内到定点距离与到定直线距离之比为一常数）反映了他们内在的联系,这种联系从以上与圆有关的问题中得到了统一,从他们位置关系的对称到方程形式的平行又体现了数学对称与和谐美.F（图9）MyxOBABA●ＮyxMPOF2F1(图7)POF1Myx（图8）F2