.可编辑专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有2111nSSnSannn及等差数列和等比数列的通项公式。例1已知数列{na}中12a，2+2nsn，求数列{na}的通项公式评注在运用1nnnass时要注意条件2n，对n=1要验证。2、累加法：利用恒等式1211+......+nnnaaaaaa求通项公式的方法叫累加法。它是求型如1+fnnnaa的递推数列的方法（其中数列fn的前n项和可求）。例2已知数列{na}中112a，121++32nnaann，求数列{na}的通项公式评注此类问题关键累加可消中间项，而(fn）可求和则易得na.可编辑3、.累乘法：利用恒等式321121nnnaaaaaaaa0na求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如1nnagna的递推数列的方法gnn数列可求前项积例3已知数列{na}中1nnsna，求数列{na}的通项公式评注此类问题关键是化1nnagna，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。4、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式1nnaqad（q,d为常数，0,1qq）通过凑配变成11ndaq=1ndqaq，或消常数项转化为211nnnnaaqaa例4、已知数列{na}中，11a，1212nnaan，求数列{na}的通项公式点评：此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列（2）倒数变换——如将一阶分式递推公式1nnncaaad（c,d为非零常数）取倒数得1111nndacac.可编辑例5已知数列{na}中，11a，121nnnaaa，求数列{na}的通项公式点评：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。⑶对数变换——如将一阶分式递推公式1pnnaca0,0,0,1nacpp取对数可得1lglglgnnapac例6已知数列{na}中，110a，0na，且2110nnaa，求数列{na}的通项公式点评：此类问题关键是取对数使其转化为关于na的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换⑷换元变换——如将一阶分式递推公式1nnnaqad（q,d为非零常数，q≠1，d≠1）变换成111nnnnaaqdddd，令nnnabd，则转化为一阶线性递推公式例7在数列{na}中，11a，13+2nnnaa*nN，求数列{na}的通项公式评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式.可编辑5、待定系数法递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts，再应用前面转化法（4）类型的方法求解。例8.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。7、叠代法例9已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。8、归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。例10数列{na}满足2nnsna*nN,求数列{na}的通项公式四、实战演练.可编辑1、[2012·辽宁卷]已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________.2、在数列{na}中，31a,)1(11nnaann，求通项公式na.3、设数列{na}是首项为1的正项数列，且0)1(1221nnnnaanaan（n=1,2,3⋯），则它的通项公式是na=▁▁▁4、已知数列{na}，其中2,121aa，且当n≥3时，1221nnnaaa，求通项公式na。5、设正数列0a，1a，na⋯，na，⋯满足2nnaa21nnaa=12na)2(n且110aa，求}{na的通项公式.五、能力提升（逆推法）已知数列na的前n项和nS与na满足：21,,nnnSSa)2(n成等比数列，且11a，求数列na的前n项和nS.可编辑点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列na的前n项和nS的递推公式，是一种最佳解法由递推关系求数列的通项公式答案例1解：当2n由1nnnass=22+2-1+2nn=21n当1n时113as不满足故3,121,2nnann例2解：由121++32nnaann可知121113212nnaannnn...
