中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：以下2R表示n维实列向量空间，nnR表示n阶实矩阵的全体，TA表示矩阵A的转置，()TrA表示矩阵A的迹。一、（20分）设0x是n维欧氏空间V中非零向量，,0kRk，定义变换00(,),TxxkxxxxV1．验证T是线性变换；2．设0x在V的标准正交基12,,,neeeL下的坐标为12,,,nL，求在该基下的矩阵；3．证明T为对称变换，即(,)(,)TxyxTy，,xyV；4．证明：T为正交变换的充要条件是202kx。二、（16分）设nnAR，记(){:,}.nnCABABBABR1．证明：()CA是nnR的子空间；2．当AI时，求()CA；3．当10000200000AnLLLLLLLL时，求()CA的维数和一组基。三、（16分）设12(,,,)TnbbbbL为n维非零列向量，求矩阵00HbAb的特征值和特征向量，其中Hb表示列向量b的共轭转置。四、（14分）设,,nnnARbxR，证明线性方程组TTAAxAb必有解。五、（12分）设,AB为n阶实矩阵，证明0.ABBA六、（12分）求证：A为幂零阵（即存在正整数m，使得0mA）的充要条件是：对任一自然数r，有()0.rTrA七、（10分）设,AB是n阶实对称矩阵，0A，证明：A为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B，恒有()0.TrAB中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、填空题：（每小题6分，共30分）1、设四阶方阵1234(,,,)A，1234(,,,)B，其中1234,,,,为4维列向量，若||1,||2AB，则||()AB。2、设六阶方阵A的秩等于4，则A的伴随矩阵*A的秩等于()。3、设三阶方阵A的行列式1||2A，1A为A的逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，则*11|()|()2AA。4、设A为n阶可逆矩阵，如果交换A的第i行与第j行得到B，则1()BA。5、设A为n阶方阵，若3AE，秩(3)AE秩(5)AEn，则数()必为A的特征值。二、（本题满分20分）设()fx是数域P上的一个n次多项式，这里1n，且设()fx的一阶微商可以整除()fx。证明()()nfxaxb，这里,,0abPa。三、（本题满分20分）解方程组12312322221231xxxaxbxcxdaxbxcxd其中,,abc为互不相同的常数。四、（本题满分25分）设P是一个数域A是nnP中的一个矩阵，令(){()|()[]}.FAfAfxPx证明：（1）()FA是nnP的一个线性子空间；（2）可以找到非负整数m，使2,,,,mEAAAL是()FA的一组基；（3）()FA的维数等于A的最小多项式的次数。五、（本题满分25分）设2R是实数域R上的2维向量空间，22:TRR1221(,)(,)xxxx是线性变换。（1）求T在基12(1,2),(1,1)下的矩阵；（2）证明对于每个实数C，线性变化TCE是可逆变换，这里E是2R上的恒等变换；（3）设T在2R的某一基下的矩阵为11122122aaaa证明乘积1221aa不等于零。六、（本题满分20分）设,AB为nn矩阵。证明：如果0AB，那么秩()A+秩()Bn。七、（本题满分10分）设,,nnABCR，若矩阵TABBC是正定的，证明1TCBAB也正定。中南大学2004年研究生入学考试试题考试科目：高等代数下面的E均为n阶单位矩阵。一、填空。（5分×5=25分）1、当k______时，向量(1,,5)k能由向量1(1,3,2)，2(2,1,1)线性表示。2、假设n阶方阵A满足2320AAE，则A的特征值为______。3、已知n阶方阵A满足2230AAE，则1(4)AE______。4、设A是n阶方阵，满足TAAE（TA是A的转置矩阵），||0A，则||AE______。5、设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1,2,,nL，则当满足______时，tEA为正定矩阵。二、计算n阶行列式。（15分）12222122221212111nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxxLLLLLLL三、证明方程组121232343454515xxaxxaxxaxxaxxa有解的充要条件是510iia，在有解的情况下求出它的一切解。（15分）四、证明，若方程30xpxq的两个跟和有关系式0，则2()qpq。（15分）五、（20分）1、证明：向量12(1,1,,1,1),(1,1,,1,0),,(1,0,,0)nLLLL是n维向量空间的一组基。2、求向量12(,,,)naaaL在此基下的坐标。六、设100101010A，证明当3n时，有22nnAAAE，并求100A（E为3阶单位矩阵）。（20分）七、设实二次型122121()nsiiinifaxaxaxL，证明：f的秩等于矩阵111212122212nnsssnaaaaaaAaaaLLLLL的秩。（20分）八、设A、B分别为n阶正定矩阵和半正定矩阵，证明||||||ABAB，且仅当0B时取等号。（20分）南大学2005年研究生入学考试试题考试科目：高等代数1．（10分）设A是n阶矩阵，满足TAAE（E是n阶单位阵），0A，求：AE.2．（12分）求证：下列齐次线性方程组的可解性：122122120...
