2006年全国中考数学压轴题集锦1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.[解]（1）直线AB解析式为：y=x+．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．∴＝＝．由题意：＝，解得（舍去）∴Ｃ（２，）方法二： ,＝，∴．由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．∴＝CD×AD＝＝．可得CD＝．∴AD=１，OD＝２．∴C（２，）．（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，∴（3，）．②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．∴（1，）．当∠OPB＝Rt∠时③过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°过点P作PM⊥OA于点M．方法一：在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，∴OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．方法二：设Ｐ（x，x+），得OM＝x，PM＝x+由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO． tan∠POM===，tan∠ABOC==．∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．∴PM＝OM＝．∴（，）（由对称性也可得到点的坐标）．当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）．2、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.(1)当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；(2)设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.CBDA图1PEFAD1BC1D2C2图3C2D2C1BD1A图2[解]（1）.因为，所以.又因为，CD是斜边上的中线，所以，，即所以，，所以所以，22ADDF.同理：11BDDE.又因为12ADBD，所以21ADBD.所以12DEDF（2）因为在RtABC中，8,6ACBC，所以由勾股定理，得10.AB即1211225ADBDCDCD又因为21DDx，所以11225DEBDDFADx.所以21CFCEx在22BCD中，2C到2BD的距离就是ABC的AB边上的高，为245.设的边上的高为，由探究，得，所以.所以.又因为，所以.又因为，.所以，而所以(3)存在.当时，即整理，得解得，.APCQBD即当或时，重叠部分的面积等于原面积的.3、（2006山东济南）如图1，已知中，，．过点作，且，连接交于点．（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围．[解]（1）在中，，．，．．，．（2）与⊙A相切．在中，，，，．又，，与⊙A相切．（3）因为，所以的变化范围为．当⊙A与⊙C外切时，，所以的变化范围为；ABCPEEABCPＤ图1图2当⊙A与⊙C内切时，，所以的变化范围为．4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．（1）设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．①...
