函数及其表示知识点+练习题+答案VIP专享VIP免费

函数及其表示考纲知识梳理一、函数与映射的概念函数映射两集合设AB、是两个非空数集设AB、是两个非空集合对应关系:fAB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应。如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。名称称:fAB为从集合A到集合B的一个函数称:fAB为从集合A到集合B的一个映射记法()yfx，xA对应:fAB是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数()yfx，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值{()|}fxxA的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应法则（3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。函数及其表示测试题1、设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（A）A.),3()1,3(B.),2()1,3(C.),3()1,1(D.)3,1()3,(解析由已知，函数先增后减再增当0x，2)(xf3)1(f令,3)(xf解得3,1xx。当0x，3,36xx故3)1()(fxf，解得313xx或2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=2x，g（x）=33x；（2）f（x）=xx||，g（x）=;01,01xx（3）f（x）=1212nnx，g（x）=（12nx）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=x1x，g（x）=xx2；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。解：（1）由于f（x）=2x=|x|，g（x）=33x=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=xx||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=;01,01xx的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=1212nnx=x，g（x）=（12nx）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=x1x的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=xx2的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。3、求下列函数的值域：（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；（4）41yxx；（5）21yxx；（6）|1||4|yxx；（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；解：（1）（配方法）2212323323()61212yxxx，∴232yxx的值域为23[,)12（2）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y又 2265(3)44xxx，∴04，故[0,2]，∴265yxx的值域为[0,2]（3）（法一）反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为{|3}xRx，∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx， 702x，∴7332x，∴函数312xyx的值...