高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质优化练习 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质[课时作业][A组基础巩固]1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项解析：第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．答案：B2．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为()A．2n＋1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n＋1－2解析：令x＝1，得2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.答案：D3．已知n的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4B．5C．6D．7解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，又各二项式系数的和为2n，故＝64，∴n＝6.答案：C4．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．45B．55C．70D．80解析： (1＋)5＝1＋C×＋C×()2＋C×()3＋C×()4＋C×()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.故选C.答案：C5．(2015年高考湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29解析： (1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C，C，∴C＝C，得n＝10.从而有C＋C＋C＋C＋…＋C＝210，又C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C，所以奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.答案：D6．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)解析：令x＝0，得a0＝(－2)5＝－32.令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案：317．若n的展开式中仅第六项系数最大，则展开式中不含x的项为________．1解析：由题意知，展开式各项的系数等于各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n＝10.∴通项为Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴常数项为T7＝C＝210.答案：2108．若(1－2x)2004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2004x2004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2004x2004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2004＝(－1)2004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2004)＝2003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2004＝2004.答案：20049．已知(1－x)8的展开式，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解析：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5＝C(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定．由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.10．已知(1－2x)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a7(x－1)7.求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a7；(2)a0＋a2＋a4＋a6.解析：(1)令x＝2，得(1－2×2)7＝－37＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37.(2)令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝1.又由(1)得，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37，两式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝1－37.∴a0＋a2＋a4＋a6＝.[B组能力提升]1．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A．1B．±1C．2D．±2解析：由条件知2n＝32即n＝5，在通项公式Tr＋1＝C()5－rr＝Carx1556r中，令15－5r＝0得r＝3，∴Ca3＝80.解得a＝2.答案：C2．若(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－1D．－2解析：(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015，令x＝，则2015＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.2答案：C3．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0,3)＝C＝4，所以原式＝20＋60＋36＋4＝120，故选C.答案：C4．如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.第...