第37课复数(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P110练习1改编)复数21i1-i=.【答案】-1【解析】21i1-i=2i-2i=-1.2.(选修2-2P105习题2改编)已知复数z=(m2+m)+(m2-2m-3)i(m∈R)是一个纯虚数，那么m=.【答案】0【解析】由220-2-30mmmm，，解得m=0.3.(选修2-2P108练习5改编)在复平面内，若复数z满足(z-2)i=4+i(i为虚数单位)，则复数z的模为.【答案】5【解析】由(z-2)i=4+i，得z·i=4+3i，所以z=43ii=3-4i，所以复数z的模为5.4.(选修2-2P109练习1改编)复数z=3-i3i在复平面内对应的点所在象限为第象限.【答案】四【解析】z=3-i3i=(3-i)(3-i)(3i)(3-i)=229-6ii31=45-35i.5.(选修2-2P110习题1改编)设复数z满足z(2+3i)=6-4i，则z的模为.【答案】2【解析】由题知|z||2+3i|=|6-4i|，所以|z|×13=3616，所以|z|=2.11.复数的概念形如z=a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a称为实部，b称为虚部.当b≠0时，z为虚数，当a=0且b≠0时，z为纯虚数.2.两个复数相等的充要条件a+bi=c+di(a，b，c，d∈R)a=c且b=d.3.复数的四则运算设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R).(1)复数的加减法：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.(2)复数的乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.(3)复数的除法：若z2≠0，则z1÷z2=(i)(-i)(i)(-i)abcdcdcd=22acbdcd+22-bcadcdi.4.复数模的几何意义(1)z=a+bi点Z(a，b)向量OZ�；(2)|z|=22ab=|OZ�|.【要点导学】要点导学各个击破复数的概念及四则运算法则例1实数m分别取什么值时，复数z=(1+i)m2+(5-2i)·m+6-15i是：(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?2【思维引导】复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.【解答】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.由m∈R，可知z的实部为m2+5m+6，虚部为m2-2m-15.(1)要使z为实数，则必有2-2-150Rmmm，，所以m=5或m=-3.(2)要使z为虚数，必有m2-2m-15≠0，所以m≠5且m≠-3.(3)要使z为纯虚数，必有22560-2-150mmmm，，即-3-2-35mmmm或，且，所以m=-2.【精要点评】按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a，b∈R)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的是解决问题的关键.变式(1)(2016·苏北四市期中)若复数z=(1-i)(m+2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为.(2)(2015·盐城三模)若复数z=(x+i)(1+i)是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数z=.(1)【答案】-2【解析】因为z=(1-i)(m+2i)=(m+2)+(2-m)i是纯虚数，所以m+2=0，2-m≠0，所以m=-2.(2)【答案】-2i【解析】因为z=(x+i)(1+i)=x-1+(x+1)i是纯虚数，所以x=1，故z=2i，从而z=-2i.例2(2015·江苏卷)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为.【答案】5【解析】|z2|=|3+4i|=5|z|2=5|z|=5.3变式(1)(2015·苏州期末)已知23ii=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，那么a+b=.(2)(2015·南京二模)已知复数z=(2-i)(1+3i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第象限.(1)【答案】1【解析】方法一：因为23ii=222i3ii=3-2i，所以a=3，b=-2，所以a+b=1.方法二：由已知得2+3i=(a+bi)i=ai-b=-b+ai，所以a=3，b=-2，所以a+b=1.(2)【答案】一【解析】因为z=(2-i)(1+3i)=5+5i，所以它对应的点在第一象限.复数的几何意义例3设z∈C，若z2为纯虚数，求z在复平面上对应的点的轨迹方程.【思维引导】因为z2为纯虚数，所以z2的实部为0，且虚部不为0.【解答】设z=x+yi(x，y∈R)，则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数，所以22-00xyxy，，所以y=±x(x≠0).【精要点评】要求z在复平面上对应的点的轨迹方程，即求z的实部和虚部满足的关系式.变式(1)求满足|z-1|=2的复数z对应的点的轨迹.(2)求满足等式|z-i|+|z+i|=3的复数z对应的点的轨迹.【解答】(1)复数z对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心、2为半径的圆.(1)因为|z-i|+|z+i|=3，故由复数模的几何意义得z对应的点到定点(0...
