高二数学上学期曲线和方程例题（五）［例1］在△ABC中，已知顶点A(1，1)，B(3，6)且△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程.选题意图：考查求轨迹方程的基本方法.解：设顶点C的坐标为(x,y),作CH⊥AB于H，则动点C属于集合P=｛Ｃ｜｝，∵ｋＡＢ＝.∴直线AB的方程是y-1=(x-1),即5x-2y-3=0.∴｜ＣＨ｜＝化简，得｜5x-2y-3｜=6,即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0,这就是所求顶点C的轨迹方程.说明：顶点C的轨迹方程，就是定直线AB的距离等于的动点的轨迹方程.［例2］过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l１，l２，若l１交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.选题意图：考查综合分析问题解决问题的能力.解法1：设点M的坐标为(x,y),∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0，2y)，∵l１⊥l２，且l１、l２过点P(2，4)，∴PA⊥PB,kPA·ｋＰＢ＝－１.而kＰＡ＝整理，得x+2y-5=0(x≠1)∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4).∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x+2y-5=0，综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法2：设M的坐标为(x,y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连接PM，∵l１⊥l２，∴2｜ＰＭ｜＝｜ＡＢ｜，而｜ＰＭ｜＝用心爱心专心化简，得x+2y-5=0,为所求轨迹方程.说明：因为解法2中没有利用斜率公式，所以避开了x≠1和x=1的讨论.［例3］已知△ＡＢＣ，Ａ（－２，０），Ｂ（０，－２），第三个顶点C在曲线ｙ＝３ｘ２－１上移动，求△ABC的重心的轨迹方程.解：设△ABC的重心为G(x,y)，顶点C的坐标为(ｘ１，ｙ１)，由重心坐标公式得代入得3，即为所求轨迹方程.说明：在这个问题中，动点C与点G之间有关系，写出C与G之间的坐标关系，并用G的坐标表示C的坐标，而后代入C的坐标所满足的关系式化简整理即得所求.用心爱心专心
