第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．解析：S底＝6××42＝24，S侧＝6×4×6＝144，所以S全＝S侧＋2S底＝144＋48＝48(3＋)．答案：48(3＋)2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析：由题意知，球的半径R＝.所以S球＝4πR2＝πa2.答案：πa24．以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为________．解析：命题①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题②对．命题③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案：15．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为r.由题意可知πr×2r＝4πR2，即r＝R.所以＝＝×＝×()3＝.答案：6．(2019·苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为________．解析：因为VEPAB＝VPABE＝S△ABE×PA＝×AB×AD×PA＝××2×3×4＝4.答案：47．(2019·江苏省高考名校联考(四))如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥EADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则1V1∶V2＝________．解析：由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V1∶V2＝VEADD1A1∶VBCC1B1ADD1A1＝S四边形ADD1A1h∶S四边形ADD1A1(2h)＝1∶6.答案：1∶68．(2019·南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分所示)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．解析：设正四棱锥SEFGH的高为h，体积为V，点S到HG的距离为h′，则2h′＋＝4，得h′＝，所以h＝＝2，所以V＝×()2×2＝.答案：9．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若某阳马的底面积为7，最长的侧棱长为5，则该阳马的体积的最大值为________．解析：设该阳马的底面边长分别为a，b，高为h，最长的侧棱长为l，则ab＝7，由于l2＝a2＋b2＋h2且l＝5，所以h2＝l2－(a2＋b2)≤(5)2－2ab＝50－2×7＝36(当且仅当a＝b＝时取等号)，即有hmax＝6，所以该阳马的体积的最大值为abhmax＝×7×6＝14.答案：1410．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．解析：如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.2答案：12011．一个正三棱台的两底面的边长分别为8cm、18cm，侧棱长是13cm，求它的全面积．解：上底面周长为c′＝3×8＝24cm，下底面周长c＝3×18＝54cm，斜高h′＝＝12cm，所以S正棱台侧＝(c′＋c)h′＝×(24＋54)×12＝468cm2，S上底面＝...
