课时作业12椭圆的简单几何性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(D)A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±)解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．2．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(B)A．3B．3或C．D．或解析：若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，∴m＝.3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(D)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选D．4．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是(C)A．B．C．D．解析：由椭圆定义知|OF1|＋|OF2|＝2a，∴2a＝4，∴a＝2，又 c＝1，∴e＝＝.5．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(C)A．B．C．D．－解析：椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝.6．椭圆＋＝1(a>b>0)和＋＝k(k>0)具有(C)A．相同的长轴长B．相同的焦点C．相同的离心率D．相同的顶点解析：椭圆＋＝1的离心率e1＝；＋＝k可化为＋＝1(k>0)，其离心率e2＝＝.∴e1＝e2.7．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，∠ABF＝90°，则椭圆的离心率为(B)A．B．C．D．解析：由题意得－·＝－1，从而有e2＋e－1＝0.解得e＝或e＝(舍去)．8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是(D)A．B．C．D．1解析：设O点为坐标原点， AP＝2PB，∴|AP|＝2|PB|.又 PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.二、填空题9．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为4.解析： |F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5， |MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.又 O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为.解析：设切点为Q，B，如右图所示．切线QP、PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以△OPQ为等腰直角三角形，可得a＝，所以e＝＝.三、解答题12．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)；(2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝.解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．由已知a＝3b且椭圆过点(3，－1)，∴＋＝1或＋＝1，∴或故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，由题意知a＝3，＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，由题意知b＝3，＝，∴＝，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.13．如右图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点M，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．2解：解法一：设焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)，依题意设M点坐标为(c，b)．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.解法二：设M(c，b)，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.——能力提升类——14．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是(B)A．(0,1]B．[1,2]C．(0,2]D．[2，＋∞)解析：因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B．15．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内...
