第2课时圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.已知椭圆x29+y2n2=1(n>0)与双曲线x24−y2m2=1(m>0)有相同的焦点,则动点P(n,m)的轨迹是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分解析 椭圆x29+y2n2=1与双曲线x24−y2m2=1有相同的焦点,∴9-n2=4+m2,即m2+n2=5(0
0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24−y212=1B.x212−y24=1C.x23−y29=1D.x29−y23=1解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|√a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23−y29=1.故选C.答案C3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),⃗AB=(3λ,4λ)(λ≠0),⃗MA=-4⃗MB,若抛物线y2=ax经过A和B两点,则a的值为()A.2B.-2C.-4D.4解析 A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),⃗AB=(3λ,4λ)(λ≠0),1∴直线AB的方程为y=43(x-1),与y2=ax联立可得y2-34ay-a=0.∴y1+y2=34a,①y1y2=-a,② ⃗MA=-4⃗MB,∴y1=-4y2.③由①②③可得a=4.故选D.答案D4.如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是()A.(-∞,-√22]B.[√22,+∞)C.[-12,12]D.[-√22,√22]解析设过点M(-2,0)的直线l的方程为y=k(x+2),联立{y=k(x+2),x22+y2=1,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0. 过点M(-2,0)的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点,∴Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)≥0,整理得k2≤12,解得-√22≤k≤√22,∴直线l的斜率k的取值范围是[-√22,√22].故选D.答案D5.已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在椭圆C2上存在一点P,使得由点P所作的圆C1的两条切线互相垂直,则椭圆C2的离心率的取值范围是()A.[√22,√32]B.[12,1)C.[√32,1)D.[√22,1)解析设P(m,n),由题意知{m2+n2=2b2,m2a2+n2b2=1,∴e2m2=b2,又0<|m|b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|(12≤λ≤2),∠F1PF2=π2,则椭圆离心率的取值范围为()A.(0,√22]B.[√22,√53]C.[23,√53]D.[√53,1)解析设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a.①由∠F1PF2=π2,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即为(λ2+1)t2=4c2.②由②÷①2,可得e2=λ2+1(λ+1)2.令m=λ+1,可得λ=m-1,即有λ2+1(λ+1)2=m2-2m+2m2=2(1m-12)2+12.由12≤λ≤2,可得32≤m≤3,即13≤1m≤23,则当m=2时,取得最小值12;当m=32或m=3时,取得最大值59.即有12≤e2≤59,解得√22≤e≤√53.故选B.答案B7.(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c,则其离心率的值为.解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±bax的距离为|bc±0|√a2+b2=bcc=b,所以b=√32c.因为a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以a=12c,e=2.答案28.抛物线y2=-8x上到焦点距离等于6的点的坐标是.3解析 抛物线方程为y2=-8x,可得2p=8,p2=2,∴抛物线的焦点为F(-2,0),准线为x=2.设抛物线上点P(m,n),到焦点F的距离等于6,根据抛物线的定义,得点P到F的距离等于P到准线的距离,即|PF|=-m+2=6,解得m=-4,∴n2=8m=32,可得n=±4√2,因此,点P的坐标为(-4,±4√2).答案(-4,±4√2)9.(2019全国Ⅰ高考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若⃗F1A=⃗AB,⃗F1B·⃗F2B=0,则C的离心率为.解析如图,由⃗F1A=⃗AB,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.由⃗F1B·⃗F2B=0,得F1B⊥F2B.则OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.则ba=tan60°=√3.所以e=ca=√1+(ba)2=√1+3=2.答案210.(2018江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(√3,12),焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),圆O的直径为...
