高中数学 第三章 空间向量与立体几何 课时作业26 3.2.3 空间向量与空间角（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

课时作业26空间向量与空间角时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(A)A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定解析：异面直线的夹角的取值范围是(0°，90°]，故选A.2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(C)A.B.C.D.解析：因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以coss1，s2＝＝＝－.又两直线夹角的取值范围为(0，]，所以l1和l2夹角的余弦值为.3．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(D)A.B.C.D.解析：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，1则A1B＝(－1,1，－2)，AC＝(－1,0,0)，∴cos〈A1B，AC〉＝＝＝，即A1B与AC所成角的余弦值是.4．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值是(C)A．－B.C.D.解析：依题意，建立如下图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，∴AM＝，CN＝，∴cosAM，CN＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.故选C.5．如下图所示，直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为(D)A.B.C.D.解析：以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如右图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则AM＝(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，QP＝(－1,0,2)，所以QP·AM＝0，所以QP与AM所成角为.6．三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为(C)A.B.C.或D.或解析：如图所示，当二面角ABDC为锐角时，〈n1，n2〉＝；当二面角ABDC为钝角时，π－〈n1，n2〉＝π－＝.27．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(B)A.B.C.D.解析：建系如右图，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1,1,1)．A1B1＝(0,1,0)，A1E＝(0，，－1)，A1F＝(－1，，0)．设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，即.令y＝2，则.∴n＝(1,2,1)，cos〈n，A1B1〉＝＝.设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈n，A1B1〉|＝，即所求线面角的正弦值为.8．如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角PECD的平面角为时，则AE等于(D)A．1B.C．2－D．2－解析：以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，3设AE＝m.D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(1，m,0)，C(0,2,0)，可取平面ABCD的一个法向量n1＝(0,0,1)，设平面PEC的法向量为n2＝(a，b，c)，PC＝(0,2，－1)，CE＝(1，m－2,0)，则∴∴令b＝1得n2＝(2－m,1,2)．|cosn1，n2|＝＝＝＝.∴m＝2－或m＝2＋(舍去)．即AE＝2－.二、填空题9．若向量m＝(－1,2,0)，n＝(3,0，－2)都与一个二面角的棱垂直，且m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为－或.解析： cosm，n＝＝＝－.∴二面角的余弦值为－或.10．如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD所成的角为α，则cosα＝.解析：设正方形ABCD的边长为2，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，则BD＝(－2,2,0)，EF＝(1,2，－1)，所以cosα＝＝＝.411．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是①②③.(请将你认为是真命题的序号都填上)解析：①如图取BD中点O，连接AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC；②如下图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A(a,0,0)，B(0，－a,0)，故AB＝(－a，－a,0)，C(0,0，a)，D(0，a,...