高考热点追踪（二）1．(2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，则c＝________．[解析]根据题意得，sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sin＝，由＝，得＝，解得c＝7．[答案]72．若＝，则tan2α＝________．[解析]＝＝＝，所以tanα＝2，所以tan2α＝＝＝－．[答案]－3．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2kb与3a－b平行，则k＝________．[解析]因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2kb＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2kb与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－．[答案]－4．(2019·扬州模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为________．[解析]因为α∈，所以2α∈(0，π)．因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－，所以sin2α＝＝，而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝．[答案]5．(2019·盐城高三模拟)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．[解析]法一：设向量b＝(x，y)，则由|b|＝1，|a－b|＝得，⇒4x－3y＝，所以a·b＝(4，－3)·(x，y)＝4x－3y＝，cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为．1法二：由|a－b|＝得，(a－b)2＝21⇒a2－2a·b＋b2＝21，所以a·b＝，cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为．[答案]6．(2019·南京高三模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM＝2MD．若AC·BM＝－3，则AB·AD＝________．[解析]由题意可得AC＝AD＋DC＝AD＋AB，BM＝AM－AB＝AD－AB，则AC·BM＝·＝－3，则|AD|2－|AB|2－AB·AD＝－3，即6－8－AB·AD＝－3，解得AB·AD＝．[答案]7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________．[解析]由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，则f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin．[答案]y＝sin8．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB＋λAC，且BP·CP＝1，则实数λ的值为________．[解析]由题意可得AB·AC＝1×2×＝1，AB·AP＝AB2＋λAB·AC＝1＋λ，AP·AC＝1＋4λ，AP2＝AB2＋2λAB·AC＋λ2AC2＝4λ2＋2λ＋1，又BP·CP＝1，则(AP－AB)·(AP－AC)＝AP2－AP·AC－AP·AB＋AB·AC＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1．[答案]－或19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC的面积的最大值为________．[解析]因为a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cosA＝＝，因为2A∈(0，π)，故A＝．因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，所以△ABC的面积的最大值为．[答案]10．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________．[解析]因为(AB－3AC)⊥CB，所以(AB－3AC)·CB＝0，(AB－3AC)·(AB－AC)＝0，AB2－4AC·AB＋3AC2＝0，即cosA＝＝＋≥2＝，当且仅当|AB|＝|AC|时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为．[答案]11．(2019·苏北四市模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1)．(1)若a⊥b，求的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．[解](1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以＝＝．(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)可得，|a－b|＝＝＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0，①又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，②由①②可解得所以sin＝(sinθ＋cosθ)＝×＝．12．(2019·盐城高三模拟)...
