课时跟踪检测（十五）空间向量的正交分解及其坐标表示层级一学业水平达标1．已知A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是()A．(－3，－2,3)B．(－3,2，－3)C．(－3,2,3)D．(－3，－2，－3)解析：选C由对称定义知．2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇒/q，q⇒p.3．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量AB�的坐标与点B的坐标相同B．向量AB�的坐标与点A的坐标相同C．向量AB�与向量OB�的坐标相同D．向量AB�与向量OB�－OA�的坐标相同解析：选D因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于AB�＝OB�－OA�，所以D正确．4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG�等于()A.OA�＋OB�＋OC�B.(OA�＋OB�＋OC�)C.(OA�＋OB�＋OC�)D.OB�＋OA�＋OC�解析：选B如图，OG�＝(OM�＋ON�)＝OM�＋×(OB�＋OC�)＝OA�＋OB�＋OC�＝(OA�＋OB�＋OC�)．5．空间四边形OABC中，OA�＝a，OB�＝b，OC�＝c，点M在OA上，且OM�＝2MA�，N为BC中点，则MN�为()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析：选BMN�＝MA�＋AB�＋BN�＝OA�＋OB�－OA�＋(OC�－OB�)＝－OA�＋OB�＋OC�＝－a＋b＋c.6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋17e3，则a，b的坐标分别为________．解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有解得答案：2－28．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF�＋λAD1�＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，∴EF�＝AD1�，即EF�－AD1�＝0，∴λ＝－.答案：－9．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AB�＝a，AD�＝b，AA1�＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示DB1�，EF�；(2)若DF1�＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解：(1)如图，DB1�＝DD1�＋DB�＝－AA1�＋AB�－AD�＝a－b－c，EF�＝EA�＋AF�＝DA1�＋AC�＝－(AA1�＋AD�)＋(AB�＋AD�)＝(a－c)．(2)DF1�＝(DD1�＋DB1�)＝(－AA1�＋DB1�)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.2证明：设AB�＝a，AA1�＝b，AD�＝c，则EF�＝EB1�＋BF1�＝(BB1�＋BD11�)＝(AA1�＋BD�)＝(AA1�＋AD�－AB�)＝(－a＋b＋c)，AB1�＝AB�＋BB1�＝AB�＋AA1�＝a＋b.∴EF�·AB1�＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(|b|2－|a|2)＝0.∴EF�⊥AB1�，即EF⊥AB1.层级二应试能力达标1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA�，MB�，MC�成为空间的一个基底的关系是()A．OM�＝OA�＋OB�＋OC�B．MA�＝MB�＋MC�C．OM�＝OA�＋OB�＋OC�D．MA�＝2MB�－MC�解析：选C对于选项A，由OM�＝xOA�＋yOB�＋zOC�(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知MA�，MB�，MC�共面；对于选项B，D，易知MA�，MB�，MC�共面，故选C.2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA�，BM�，BN�不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选D根据基底...
