课时分层作业(三)合情推理(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B[由归纳推理的定义知B是归纳推理，故选B.]2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xtm＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·pa＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“＝”类比得到“＝”．其中类比结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4B[由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B.]3．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是()A．2n－2B．2n－2C．2n－2－D．2n＋1－4A[ a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.故选A.]4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2C[归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝6n＋2.]5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝()A.B.C.D.C[设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S－ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝.]二、填空题6．观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．F＋V－E＝2[观察分析、归纳推理．观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.]7．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式为________．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9[结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.]三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．[解]先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，∴＋Sn－1＋2＝0.当n＝1时，S1＝a1＝－.当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.猜想：Sn＝－，n∈N＋.10．如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．[解]在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝＋＝＝＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＋＋＝＝＝1.1．观察如图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.B.C.D.A[观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．]2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3...
