课时达标训练（二十一）空间向量在立体几何中的应用（习题课）1．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB＝的等腰直角三角形，B1A1∥BA，B1A1＝BA.(1)求证：C1A1⊥平面ABB1A1；(2)求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝2BC＝4，BF＝CF＝AE＝DE，EF＝2，EF∥AB，AF⊥CF，G为FC的中点．(1)证明：AF∥平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点，且＝λ.(1)证明：D1E⊥A1D；(2)是否存在λ，使得二面角D1ECD的平面角为？并说明理由．4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，点E，F，G分别是AB，CD，BC的中点，沿EF将四边形ADFE折起，使得平面ADFE⊥BCFE，形成如图所示的多面体ABCDFE.(1)求证：BD⊥EG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．5．在边长为3的正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足AE＝CF＝CP＝1(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，连接A1B，A1P(如图2)，使平面A1EF⊥平面BPE.1(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．6．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，A1A＝4，AB＝AC＝2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BD＝DC1.(1)若DF∥平面ABC，求的值；(2)当的值为多少时，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为？答案1.解：易知CA，CB，CC1两两垂直，且CA＝CB＝CC1＝1，故以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，1)，A1，∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB.又 AA1∩AB＝A，∴C1A1⊥平面ABB1A1.(2)设平面AA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1，则n＝(1，－1，1)．又＝(0，－1，1)，设直线BC1与平面AA1C1所成的角为θ，22.解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG， 点G为FC的中点，∴OG∥AF. AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG.(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN＝FP.连接EM，FQ， AE＝DE＝BF＝CF，AD＝BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM＝FQ，∴Rt△ENM≌Rt△FPQ，∴MN＝PQ＝1. BF＝CF，Q为BC中点，∴BC⊥FQ.又BC⊥MQ，FQ∩MQ＝Q，∴BC⊥平面MQFE，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD.以P为原点，PM所在直线为x轴，PF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(3，1，0)，B(－1，1，0)，C(－1，－1，0)，设F(0，0，h)(h>0)，则＝(－3，－1，h)，＝(1，1，h)． AF⊥CF，∴·＝0，解得h＝2.则＝(－3，－1，2)，＝(1，－1，2)，设平面ABF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，令z1＝1，得x1＝0，y1＝2，∴n1＝(0，2，1)．同理得平面BCF的一个法向量为n2＝(－2，0，1)．∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，∴平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.3.解：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．3不妨设AD＝AA1＝1，AB＝2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．因为＝λ，所以E，于是＝，＝(－1，0，－1)，所以·＝·(－1，0，－1)＝－1＋0＋1＝0，故D1E⊥A1D.(2)因为DD1⊥平面ABCD，所以平面DEC的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面D1EC的法向量为n1＝(x，y，z)，又＝，＝(0，－2，1)，整理得取y＝1，则n1＝.因为二面角D1ECD的平面角为，所以＝，即＝，解得λ＝－1.故存在λ＝－1，使得二面角D1ECD的平面角为.4.解：(1) AD∥BC，BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD的中点，∴AD∥EF，EF∥BC，EF＝3. ∠ABC＝90°，∴EF⊥AE，EF⊥BE，∴EF⊥平面AEB. 平面ADFE⊥平面BCFE，∴AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴＝(2，2，0)，＝(－2，2，2)．∴·＝－2×2＋2×2＝0，∴BD⊥EG.(2)由已知，得＝(2，0，0)是平面DEF的一个法向量．设平面D...
