第34课平面向量的基本定理及坐标表示(本课对应学生用书第74-75页)自主学习回归教材1.平面向量的基本定理(1)e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.平面内任意两个不共线的向量都可以作为一组基底,两个平行向量不可以作为向量的基底.(2)平面内的任一向量a,都可以沿两个不共线的方向分解成唯一两个向量的和,所以平面向量的基本定理也叫作唯一分解定理.2.平面向量的坐标形式在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对平面内任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj(向量的分量表示),记作a=(x,y)(向量的坐标表示),其中x叫作a的横坐标,y叫作a的纵坐标.3.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).(2)若点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么AB�的坐标为(x2-x1,y2-y1).1.(必修4P79练习2改编)在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么向量PQ�=.[答案](3,1)[解析]注意向量的起点与终点.2.(必修4P87习题1改编)已知向量a=(1,2),b=(3,1),那么|2a+3b|=.[答案]170[解析]|2a+3b|=|(2,4)+(9,3)|=|(11,7)|=22117=170.3.(必修4P73习题1改编)已知点A(1,2),B(4,2),向量a=(x+y,x-2y).若a与向量AB�相等,则x-y=.1[答案]1[解析]因为AB�=(3,0),a=AB�,所以3,-20,xyxy解得2,1,xy所以x-y=1.4.(必修4P73习题6改编)已知点A(1,-3)和向量a=(3,4).若AB�=2a,则点B的坐标为.[答案](7,5)[解析]设O为坐标原点,因为AB�=2a=(6,8)=OB�-OA�,所以OB�=AB�+OA�=(6,8)+(1,-3)=(7,5),所以点B的坐标为(7,5).5.(必修4P75练习6改编)已知点P1(1,3),P2(4,-6),P是直线P1P2上的一点,且1PP�=22PP�,那么点P的坐标为.[答案](3,-3)[解析]设P(x,y),由1PP�=22PP�,得(x-1,y-3)=2(4-x,-6-y),所以x=3,y=-3,即P(3,-3).2
