1.2应用举例第2课时角度问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为()A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】如图所示，sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°.【答案】B2．如图1224所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()图1224A.B.C.D.【解析】由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝.所以sinα＝，所以tanα＝＝.【答案】A3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/小时B．14海里/小时C．14海里/小时D．20海里/小时【解析】如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，1在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．【答案】B4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米【解析】如图，设DN＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0，∴x＝16或x＝－6(舍)，∴N与D之间的距离为16米．【答案】C二、填空题5．如图1225，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图12252【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．【答案】1006．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为________．【解析】x2＋9－2·x·3cos30°＝()2，解得x＝2或x＝.【答案】或27．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.【解析】如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．【答案】308．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为______nmile/h.【解析】如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得＝，∴MN＝68×＝34.又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，∴船的航行速度v＝＝(nmile/h)．【答案】三、解答题9.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．3图1226【解】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得＝，解得sinα＝＝.10.如图1227，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让...
