2．数列1．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝(1)是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.解(1)由已知，得a2(n＋1)＝a2n＋1＋(2n＋1)＝[a2n－3(2n)]＋2n＋1＝a2n＋1.令a2(n＋1)－λ＝(a2n－λ)，得a2(n＋1)＝a2n＋λ，所以λ＝.此时，a2－λ＝＋1－＝－.所以存在λ＝，使得数列{a2n－λ}是等比数列．(2)由(1)知，数列是首项为－，公比为的等比数列，所以a2n－＝－n－1＝－·，即a2n＝.由a2n＝a2n－1＋(2n－1)，得a2n－1＝3a2n－3(2n－1)＝－6n＋3，所以a2n－1＋a2n＝－6n＋3＋＝－2n－6n＋9，所以S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝－2－6(1＋2＋…＋n)＋9n＝－3n2＋6n－1，从而S2n－1＝S2n－a2n＝×－3n2＋6n－.因为和－3n2＋6n＝－3(n－1)2＋3在n∈N*时均单调递减，所以S2n和S2n－1均各自单调递减．计算得S1＝1，S2＝，S3＝－，S4＝－，所以满足Sn>0的所有正整数n的值为1和2.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，设数列{bn}满足bn＝2(Sn＋1－Sn)Sn－n(Sn＋1＋Sn)(n∈N*)．(1)若数列{an}为等差数列，且bn＝0，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n－1}，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n0.所以f(n)＝2n＋8在n≥7(n∈N*)时也单调递增，当n＝1时，f(1)＝－5<0；当n＝2时，f(2)＝－34<0；当n＝3时，f(3)＝－100<0；当n＝4时，f(4)＝－224<0；当n＝5时，f(5)＝－360<0；当n＝6时，f(6)＝－24<0；当n＝7时，f(7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设Tn＝∑(－1)iai，若对一切正整数n，不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，请说明理由．解(1)设数列{an}的公差为d.因为2a5－a3＝13，S4＝16，所以解得所以an＝2n－1，Sn＝n2.(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k.代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·2k<4k，从而λ<.设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝.因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ<2.②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1，得λ(1－2k)<(2k－1)4k，从而λ>－4k.因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4.综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，2则(Sm－S2)2＝S2(Sn－Sm)，即(m2...
