课时作业16双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是()A.4B.2C.1D.－2答案A解析 双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为()A.2B.2C.D.1答案A解析不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2.故选A.3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解把方程化为标准形式为－＝1，由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2.顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c＝＝＝，∴焦点坐标是(－，0)，(，0)．离心率e＝＝，渐近线方程为±＝0，即y＝±2x.知识点二求双曲线的离心率4.下列方程表示的曲线中离心率为的是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案B解析 e＝，c2＝a2＋b2，∴e2＝＝＝1＋＝2＝.故＝，观察各曲线方程得B项系数符合，应选B.5．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，∴y＝±.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴2－2·－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋.知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案B解析由右焦点为F(3,0)可知c＝3，又因为离心率等于，所以＝，所以a＝2.由c2＝a2＋1b2知b2＝5，故双曲线C的方程为－＝1，故选B.7．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A.2B.2C.4D.4答案C解析双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为()A.B.C.2D.3答案B解析不妨设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2·2b＝2a＋2c，即b＝.又b2＝c2－a2，则2＝c2－a2，所以3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，注意到e>1，得e＝.故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为()A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x答案D解析设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为＝，所以＝，所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选D.4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C.2D.3答案B解析设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2·＝2·2a.∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.5．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为()A.[3－2，＋∞)B.[3＋2，＋∞)C.D.答案B解析因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)(x0≥)，则－y＝1(x0≥)，可得y＝－1(x0≥)，易知FP＝(x0＋2，y0)，OP＝(x0，y0)，所以OP·FP＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，OP·FP取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故OP·FP的取值范围是[3＋2，＋∞)．二、填空题26．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.答案12解析由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2...
