活页作业(九)一般形式的柯西不等式一、选择题1．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为()A．24B．30C．36D．48解析：∵(x＋y＋z)≥2＝36，∴＋＋≥36，当且仅当x＝＝＝时等号成立．答案：C2．设实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，且a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的最大值是()A．B．C．5D．16解析：由已知，得a＋b＋c＋d＝8－e，a2＋b2＋c2＋d2＝16－e2.所以(8－e)2＝(a＋b＋c＋d)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)＝4(16－e2)，当且仅当a＝b＝c＝d＝2或时等号成立．化简，得5e2－16e≤0，即0≤e≤.所以emax＝.答案：A3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则的值为()A．B．C．D．解析：由题意，可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz.上式与a2＋b2＋c2＝10相加，可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10.不妨令则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.答案：C4．设a1，a2，…，an为正实数，P＝，Q＝，则P，Q之间的大小关系为()A．P>QB．P≥QC．P0，b>0，c>0，所以s≤t.答案：s≤t三、解答题5．已知△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.证明：由正弦定理，得sinA＝.所以＝.同理＝，＝.由柯西不等式，可得左边＝(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2.原不等式得证．6．设x，y，z∈R，且＋＋＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．解：根据柯西不等式，知[42＋()2＋22]≥2，当且仅当＝＝，即x＝，y＝－1，z＝或x＝－，y＝－3，z＝时等号成立．∴25×1≥(x＋y＋z－2)2，即|x＋y＋z－2|≤5.∴－3≤x＋y＋z≤7.故x＋y＋z的最大值为7，最小值为－3.3
