第1课时二维形式的柯西不等式A．基础巩固1．若a，b∈R且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．[－，]【答案】A【解析】≤·＝2.2．已知a＋b＝1，则以下成立的是()A．a2＋b2＞1B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1D．a2b2＝1【答案】B【解析】由柯西不等式得a＋b≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当ab＝·时，取等号，则化简有a2＋b2＝1.故选B．3．已知x，y∈R且x＋y＝1，则2x2＋3y2的最小值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵x＋y＝1，∴(2x2＋3y2)·＝≥2＝(x＋y)2＝1.∴2x2＋3y2≥，即2x＝3y时，等号.4．若a>0，b>0，x1>0，x2>0，a＋b＝1，则M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)与N＝x1x2的关系为()A．M≤NB．M＝NC．M≥ND．不确定【答案】C【解析】因为a>0，b>0，x1>0，x2>0，，所以(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(a＋b)2＝x1x2.(当且仅当＝时，即a＝b时，等号成立)5．(2017年阳江校级月考)实数x，y满足＋＝1，则2x＋y的最大值是________．【答案】5【解析】由柯西不等式得(42＋32)≥2＝(2x＋y)2，∴1×25≥(2x＋y)2，当＝，即x＝，y＝时等号成立．∴2x＋y≤5，即2x＋y的最大值是5.6.(2018年湘潭模拟)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为.【答案】【解析】由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，得m2＋n2≥5，所以的最小值为.7．(2017年江苏)已知a，b，c，d为实数且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.【证明】由柯西不等式得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)＝4×16＝64，当且仅当ad＝bc时取等号，∴－8≤ac＋bd≤8.B．能力提升8．已知0＜α＜，则M＝sinα＋满足()A．M＞2B．M≥2C．M≤2D．M＜2【答案】D【解析】因为sinα＋≤·＝2，当且仅当＝sinα，即sin2α＝1时等号成立．又因为0＜α＜，sin2α＜1.所以等号不成立．12
