第1课时二维形式的柯西不等式A.基础巩固1.若a,b∈R且a2+b2=10,则a-b的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-,]D.[-,]【答案】A【解析】≤·=2.2.已知a+b=1,则以下成立的是()A.a2+b2>1B.a2+b2=1C.a2+b2<1D.a2b2=1【答案】B【解析】由柯西不等式得a+b≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,当且仅当ab=·时,取等号,则化简有a2+b2=1.故选B.3.已知x,y∈R且x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵x+y=1,∴(2x2+3y2)·=≥2=(x+y)2=1.∴2x2+3y2≥,即2x=3y时,等号.4.若a>0,b>0,x1>0,x2>0,a+b=1,则M=(ax1+bx2)(bx1+ax2)与N=x1x2的关系为()A.M≤NB.M=NC.M≥ND.不确定【答案】C【解析】因为a>0,b>0,x1>0,x2>0,,所以(ax1+bx2)·(bx1+ax2)=[()2+()2]·[()2+()2]≥(a+b)2=x1x2.(当且仅当=时,即a=b时,等号成立)5.(2017年阳江校级月考)实数x,y满足+=1,则2x+y的最大值是________.【答案】5【解析】由柯西不等式得(42+32)≥2=(2x+y)2,∴1×25≥(2x+y)2,当=,即x=,y=时等号成立.∴2x+y≤5,即2x+y的最大值是5.6.(2018年湘潭模拟)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.【答案】【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,即5(m2+n2)≥25,得m2+n2≥5,所以的最小值为.7.(2017年江苏)已知a,b,c,d为实数且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【证明】由柯西不等式得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64,当且仅当ad=bc时取等号,∴-8≤ac+bd≤8.B.能力提升8.已知0<α<,则M=sinα+满足()A.M>2B.M≥2C.M≤2D.M<2【答案】D【解析】因为sinα+≤·=2,当且仅当=sinα,即sin2α=1时等号成立.又因为0<α<,sin2α<1.所以等号不成立.12