课时分层作业(二十)空间向量与空间角(建议用时：60分钟)一、选择题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均不对A[l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为．应选A．]2．已知二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角αlβ的大小为()A．B．C．或D．或C[由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角αlβ的大小为或，故选C．]3．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．B．C．D．D[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz(图略)，设AB＝1，则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)，cos〈A1B，AD1〉＝＝＝－，∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．]4．已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A．B．C．D．B[作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0,0,0)，A，C，E，∴OA＝，CE＝，∴cos〈OA，CE〉＝＝＝．∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为．]5．如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A．B．C．D．D[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF．以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz．设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，OC＝，易知OC为平面BDF的一个法向量，由BC＝，FB＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝．故二面角CBFD的正切值为．]二、填空题6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝．]7．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．[如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E，F，所以AE＝，EF＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3．故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝＝．所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝，sinα＝，所以tanα＝．]8．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．设BC＝1，则A，B，C，D，所以BA＝，BD＝，CD＝．设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，CD〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．]三、解答题9．如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝．(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．[解](1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD．因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC．因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD．(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，BA＝(－1,0,1)，CD＝(－1，－，0)，所以cos〈BA，CD〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为．10．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．[解](1)证明：连接A1E．因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，...
