（江苏专用）高考数学大一轮复习 第六章 第36课 平面向量的数量积自主学习-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第36课平面向量的数量积(本课对应学生用书第77-79页)自主学习回归教材1.两个向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cosθ,其中|b|·cosθ称为向量b在a方向上的投影.规定:零向量与任一向量的数量积为0.2.两个向量的数量积的性质设a与b是非零向量,θ是a与b的夹角.(1)若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.(2)a·b=0a⊥b.(3)cosθ=·||||abab.3.数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=a·(λb).(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.1.(必修4P81习题2改编)已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,那么a·b=.[答案]3[解析]a·b=2×3×32=3.2.(必修4P88练习4改编)已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x=.[答案]1[解析]因为a·b=2-x=1,所以x=1.3.(必修4P89习题2改编)已知a,b的夹角为120°,a=1,b=3,那么5-ab=.[答案]71[解析]先求5-ab的平方,再开方.4.(必修4P81习题10改编)已知向量a=(x,4),b=(-2,-1).若向量a与b的夹角为钝角,则x的取值范围为.[答案](-2,8)∪(8,+∞)[解析]因为向量a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,且a≠λb,即-2x-4<0,且(x,4)≠λ(-2,-1),所以x>-2且x≠8.5.(必修4P81习题13改编)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.[答案]23[解析]设a与b的夹角为θ.因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0,即a2+a·b=0,则cosθ=2-||||aab=-424=-12,所以θ=23.2