第三讲柯西不等式与排序不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.设a>0，b>0，则以下不等式中，不恒成立的是A.(a＋b)≥4B.a3＋b3≥2ab2C.a2＋b2＋2≥2a＋2bD.≥－答案B2.已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是A.[0，]B.[－，0]C.[－，]D.[－5，5]解析|3x＋2y|≤·≤.所以－≤3x＋2y≤.答案C3.已知a，b，c是正实数，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是A.a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2aB.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC.a3＋b3＋c3
0，则a2≥b2≥c2>0.由排序不等式，顺序和≥乱序和，有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.答案B4.已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1＝，y2＝，则y1与y2的大小关系为A.y1＞y2B.y1＜y2C.y1＝y2D.不能确定答案D5.设m，n为正整数，m>1，n>1，且log3m·log3n≥4，则m＋n的最小值是A.15B.16C.17D.181答案D6.已知x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为A.1B.2C.D.8解析不妨设x≥y≥z>0，则≥≥>0，且x2≥y2≥z2>0，由排序不等式，得＋＋≥·z2＋·y2＋·x2＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，所以＋＋≥1，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立.答案A7.已知a，b是给定的正数，则＋的最小值为A.2a2＋b2B.2abC.(2a＋b)2D.4ab解析＋＝(sin2α＋cos2α)·≥＝(2a＋b)2，当且仅当sinα＝cosα时，等号成立.故＋的最小值为(2a＋b)2.答案C8.设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是A.B.C.2D.答案B9.设实数x1，x2，…，xn的算术平均值是x，a≠x(a∈R)，并记p＝(x1－x)2＋…＋(xn－x)2，q＝(x1－a)2＋…＋(xn－a)2，则p与q的大小关系是A.p>qB.p0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是A.M≥NB.M>NC.M≤ND.MN.答案B12.设P为△ABC内一点，D，E，F分别为P到BC，CA，AB所引垂线的垂足，如图.若△ABC2的周长为l，面积为S，则＋＋的最小值为A.B.C.D.解析设AB＝a1，AC＝a2，BC＝a3，PF＝b1，PE＝b2，PD＝b3，则a1b1＋a2b2＋a3b3＝2S. (a3b3＋a2b2＋a1b1)≥＝(a3＋a2＋a1)2＝l2，∴＋＋≥，当且仅当b1＝b2＝b3，即PE＝PF＝PD时，等号成立.答案A二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________.解析(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时等号成立).答案214.已知x，y，z为正数，且xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)(y＋z)的最小值为________.答案215.若a>b>0，则a＋的最小值为________.答案316.边长为a，b，c的三角形，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________.解析三角形的面积S＝＝＝，即abc＝1，所以t＝ab＋bc＋ca，t2＝(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2＝s2，又a，b，c>0，所以s≤t.答案s≤t三、解答题(共70分)17.(10分)已知x＋y＋z＝1，求2x2＋3y2＋z2的最小值.解析利用柯西不等式3由(2x2＋3y2＋z2)≥(x＋y＋z)2，得2x2＋3y2＋z2≥＝，所以，2x2＋3y2＋z2的最小值为.18.(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证p2＋q2＋r2≥3.解析(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3(当且仅当p＝q＝r＝1时，等号成立).19.(12分)设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x).证明 f(2x)＝lg，∴要证f(2x)≥2f(x)，只要证lg≥2lg，即证≥也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]≥[1x＋2x＋…...
