第16课导数的概念(本课对应学生用书第33-34页)自主学习回归教材1.函数的平均变化率一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为2121f(x)-f(x)x-x.2.导数的概念设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,且x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0,比值ΔyΔx=00f(xΔx)-f(x)Δx无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内任一点都可导,那么f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化,因而是自变量x的函数,该函数叫作f(x)的导函数,记作f'(x).3.导数的几何意义(1)导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f'(x0).(2)设s=s(t)是位移函数,则s'(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时速度.(3)设v=v(t)是速度函数,则v'(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度.1.(选修1-1P59例4改编)函数f(x)=-2x+10在区间[-3,-1]上的平均变化率为.[答案]-2[解析]ΔyΔx=f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=-2.2.(选修1-1P64习题1改编)已知一物体的运动速度为v(t)=t2+3t,(其中v的单位为m/s,t的单位为s),则t=1s时的瞬时加速度为.[答案]51[解析]ΔvΔt=22(1Δt)3(1Δt)-(131)(1Δt)-1=25ΔtΔtΔt=5+Δt,当Δt→0时,ΔvΔt→5.3.(选修1-1P26习题2改编)函数f(x)=1x的导函数为.[答案]f'(x)=-3-21x2[解析]f'(x)=(1-2x)'=-3-21x2.4.(选修1-1P65习题2改编)曲线y=2x2+1在点P(-1,3)处的切线方程为.[答案]y=-4x-1[解析]由y'=4x,当x=-1时,得k=-4,所以切线方程为y-3=-4(x+1),即y=-4x-1.5.(选修1-1P66习题14改编)火箭升空后的一段时间内,第ts时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4(其中h的单位为m,t的单位为s),则经过s后,火箭的速度达到120m/s.[答案]1[解析]因为h(t)=5t3+30t2+45t+4,所以h'(t)=15t2+60t+45,而v(t)=h'(t)=120,所以15t2+60t+45=120,解得t=1.2
