常见的数列的通项公式求法数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，其涉及的基础知识、数学思想与方法在高等数学的学习中起着重要作用，因而成为高考久考不衰的热点题型，在历年的高考中都占有重要地位。其中，选择题、填空题突出"小、巧、活"的特点，而解答题多以中、高档题目出现。下面我就通过些例子，介绍几种常见的数列通项公式的求法。一、观察法1、常规数列的通项例1：求下列数列的通项公式（1），，，，（2），1，，，，…解：（1）an=（2）an=评注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。2、摆动数列的通项例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。解：an=（－1）n－1变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。解答1若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…故数列的通项公式为an=1+（－1）n变式2：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…故数列的通项公式为an=1++2×[1+（－1）n－1]=1+[1+（－1）n－1]解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2…故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－13、循环数列的通项例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。解：an=变式1：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相加得到的项全部都是1，于是an=1－变式2：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。解：an=（1－）例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。解：an=10n－1变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10，100，1000，…故an=10n－1。变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。解：an=（10n－1）评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。4、通过等差、等比数列求和来求通项例5：求下列数列的通项公式（1）0.7，0.77，0.777，…（2）12，1212，121212，…解：（1）an==7×=7×（0.1+0.01+0.001+…+）=7×（+++…+）=7×=（1－）（2）an==12×（1+100+10000+…+100n－1）=12×=（102n－1）评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。二、公式法1．等差、等比数列的通项直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。用心爱心专心2．已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。用此公式时要注意：结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为一个表达式。例1：已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式．(1)Sn=n2＋4n；(2)Sn=3n-2．解(1)当n=1时，a1=S1=5；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2＋4n)-［(n-1)2＋4(n-1)］=2n＋3，由于a1也适合于此等式，因此an=2n＋3．(2)当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1，由于a1不适合于说明在已知Sn，求an的题型中，要重视a1的求解，并检验a1是否满足n≥2时an的结构式.三、递推法1．递推关系式形如(其中不是常数函数)此类问题要利用累加法或累乘法,利用公式或来求解.例1在数列中,解：依题意, ∴点评:在运用累加法时,要注意项数,计算时项数容易出错.例2在数列中,>0,,求.解:依题意可得:.而>0,所以即:,由可得:.点评:本题考查了因式分解及累乘法的运用.用心爱心专心解题思路：利用累乘法,将各式相乘得，，即得.例3．在数列中，，，求通项.解：由条件等式得，，得.【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.2、递推关系式形如此类问题可化为,即数列是一个以p为公比的等比数列.例1已知数列满足求数列的通项公式.解：是以为首项，2为公比的等比数列。即点评:根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.这种递推关系式还可演变为两种难度稍大的递推...
