2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A．45°B．30°C．90°D．60°解析：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴建立空间直角坐标系．则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，∴AC＝(－1,1,0)，BF＝(1,0,1)．∴cos〈AC，BF〉＝.∴〈AC，BF〉＝120°.∴AC与BF所成的角为60°.答案：D2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建系如图，设正方体棱长为1，则BB1＝(0,0,1)．∵B1D⊥面ACD1，∴取B1D＝(1,1,1)为面ACD1的法向量．设BB1与面ACD1所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝.答案：D3．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为()A.B.C.D.解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，1∴B，F，C，D.∴OC＝，且OC为平面BDF的一个法向量．由BC＝，FB＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝.∴tan〈n，OC〉＝.答案：D4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2，2,4)，D1(0,0,4)，∴D1B1＝(2,2,0)，D1A＝(2,0，－4)，AA1＝(0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥D1B1，n⊥D1A，∴，即，令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．解析：cos〈n，v〉＝＝－.∴〈n，v〉＝120°.答案：60°6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1.因为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由AD＝，AA1＝1知A1D＝.故A1.又A，B，∴AA1＝，AB＝，∴cos〈AA1·AB〉＝.又∵CC1∥AA1，∴cos〈AA1，AB〉＝cos〈CC1，AB〉．2故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠ACB＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值．解析：方法一：取BC中点E，连接EF1，D1F1，∵D1F1綊B1C1，BE綊B1C1，∴D1F1綊BE，∴四边形BEF1D1是平行四边形，∴EF1∥BD1，∠AF1E是BD1与AF1所成的角，连接AE，设BC＝CA＝CC1＝1，则AE＝＝，AF1＝＝，EF1＝BD1＝＝，在△AEF1中，由余弦定理得：cos∠AF1E＝＝＝.∴BD1与AF1所成角的余弦值为.方法二：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CB＝CA＝CC1＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D1，F1，则AF1＝，BD1＝，∴|AF1|＝，|BD1|＝，则cos〈BD1，AF1〉＝＝，∴BD1与AF1所成角的余弦值为.38．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．解析：取CD的中点M，则EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影为BM，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，∴M，E，∴BE＝，BM＝，cos〈BM，BE〉＝＝＝，∴BE与平面ABCD夹角的余弦值为.9．(10分)如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C－DE－C1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．解析：(1)如图，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则有4D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)．于是，DE＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)．设向量n＝(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有⇒⇒x＝y＝－z.∴n＝＝(－1，－1,2)，其中z>0.取n＝(－1，－1,2)，则n是平面C1DE的一个法向量．∵向量AA1＝(0,0,2)与平面CDE垂直，设二面角C－DE－C1的平面角大小为θ.由图知所求二面角为锐二面角，∴cosθ＝cos〈n，AA1〉＝＝＝，∴tanθ＝.(2)设EC1与FD1所成角为β，则cosβ＝|cos〈EC1，FD1〉|＝＝＝.5
