2.5简单复合函数的求导法则(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若函数f(x)＝3cos，则f′等于()A.－3B.3C.－6D.6【解析】f′(x)＝－6sin，∴f′＝－6sin＝6sin＝3.【答案】B2.函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A.y′＝ln(2x＋5)－B.y′＝ln(2x＋5)＋C.y′＝2xln(2x＋5)D.y′＝【解析】y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.【答案】B3.曲线y＝f(x)＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1【解析】y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2.【答案】C4.函数y＝cos2x＋sin的导数为()A.y′＝－2sin2x＋B.y′＝2sin2x＋C.y′＝－2sin2x＋D.y′＝2sin2x－【解析】y′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋·cos＝－2sin2x＋.【答案】A5.曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.4e2C.2e2D.e2【解析】因为导函数y′＝e，所以曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为e2.于是切线方程为y－e2＝e2(x－4).令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2.所以S＝e2×2＝e2.【答案】D二、填空题6.若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.1【解析】f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，∴f′(2)＝.【答案】7.(2016·广州高二检测)若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.【解析】∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.【答案】2sin2x8.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.【解析】设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2，2).【答案】(－ln2，2)三、解答题9.已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，求实数a的值.【解】f′(x)＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]＝(1－ax)2－2ax(1－ax).由f′(2)＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.10.求曲线f(x)＝2sin2x在点P处的切线方程.【解】因为f′(x)＝(2sin2x)′＝2×2sinx×(sinx)′＝2×2sinx×cosx＝2sin2x，所以f′＝2sin＝.所以过点P的切线方程为y－＝，即x－y＋－＝0.[能力提升]1.(2016·长沙高二检测)函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A.y′＝2cosB.y′＝cos2x－sin2xC.y′＝sin2x＋cos2xD.y′＝2cos【解析】∵y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝cos2x·(2x)′＋sin2x·(2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2＝2cos，故选A.【答案】A2.(2016·潍坊高二期末检测)已知函数f(x)＝x·lnax＋b，曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2，则ab＝()2A.2＋e2B.2＋eC.D.【解析】f′(x)＝lnax＋1.由题意即解得a＝，b＝e＋2，∴ab＝，故应选C.【答案】C3.曲线y＝f(x)＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为____________________.【解析】因为f′(x)＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以f′(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.【答案】5x＋y－3＝04.曲线y＝f(x)＝e2x·cos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程.【解】∵f′(x)＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴f′(0)＝2.∴经过点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得＝，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.3
