§2.5圆锥曲线的共同性质课时目标1.掌握圆锥曲线的共同性质，并能进行简单应用.2.会写出圆锥曲线的准线方程．1．圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是____________．__________时，它表示椭圆；________时，它表示双曲线；________时，它表示抛物线．2．对于椭圆＋＝1(a>b>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：__________，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：________；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为：________.一、填空题1．中心在原点，准线方程为y＝±4，离心率为的椭圆的标准方程是________________．2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1＝3PF2，则P点到左准线的距离是________．3．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是__________．4．若双曲线－＝1的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是________．5．双曲线的焦点是(±，0)，渐近线方程是y＝±x，则它的两条准线间的距离是____．6．椭圆＋＝1上点P到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．7．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝，则a＝______，该双曲线的离心率为______．8．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．二、解答题9．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．10．已知椭圆中心在原点，长轴在x轴上，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，两条准线间的距离为8.(1)求椭圆方程；(2)若直线y＝kx＋2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB(O为坐标原点)?能力提升11.如图，已知点F（1,0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQF=FPFQ1求动点P的轨迹C的方程.12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，点F2到右准线l的距离为.(1)求a、b的值；（2）设M、N是l上的两个动点，F1M·F2N＝0，证明：当|MN|取最小值时，F2F1＋F2M＋F2N＝0.1．圆锥曲线的共同性质揭示了三类曲线的联系，使焦点、离心率、准线构成一个和谐的整体．2．对直线和圆锥曲线的交点问题，可利用联立方程，设而不求，充分利用韦达定理来解决．§2.5圆锥曲线的共同性质知识梳理21．一个常数e01e＝12．x＝x＝－y＝±作业设计1.＋＝1解析由题意＝4，＝，a2＝b2＋c2，解得a＝2，c＝1，b＝.2．6解析a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴准线x＝＝＝4，两准线间距离为8，设P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2. PF1∶PF2＝3∶1.又 ＝e，＝e，∴d1∶d2＝3∶1.又d1＋d2＝8，∴d1＝8×＝6.3.＋＝1或＋＝1解析由＝，＝，a2＝b2＋c2得a＝5，c＝4，b＝3.4.解析由题意知＝，即＝，左边分子、分母同除以a2，得＝，解得e＝.5.解析由c＝，＝，c2＝a2＋b2，易求a＝2，∴d＝2×＝2×＝.6．9,1解析由＝e推得PF＝a－ex0，又－a≤x0≤a，故PF最大值为a＋c，最小值为a－c.7.解析由已知得＝，化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.又 a>0，∴a＝，离心率e＝＝＝.8.解析由双曲线和抛物线的对称性可知，双曲线的两条渐近线都与抛物线相切．再由双曲线方程可知其渐近线方程为y＝±x，将一条渐近线方程与抛物线方程联立得x2－x＋1＝0，令Δ＝0得，＝4，所以双曲线的离心率e＝＝.9．解设M(x0，y0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离MN，即MF2＝MN，由双曲线定义可知＝e，∴＝e.由焦点半径公式得＝e.∴x0＝.而x0≥a，∴≥a.即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤＋1.但e>1，∴1b>0)由题意得：，解得.又a2＝b2＋c2，∴c＝1，b2＝3，a2＝4.∴椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程：化简得：(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.则x1＋x2＝－，x1·x2＝. OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4∴(1＋k2)＋2k·＋4＝0.解得：k2＝，∴k＝±.经检验满足Δ>0.∴当k＝±时，OA⊥OB.11．解设点P(x，y)，则Q(...
