1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课时过关·能力提升基础巩固1.已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析: x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.答案:B2.若函数f(x)=x2-3在区间[1,b]上的平均变化率为3,则实数b的值等于()A.1B.2C.3D.4解析:依题意得b2-3-(1-3)b-1=3,解得b=2(b=1舍去).答案:B3.已知函数f(x¿=16x2,则f'(-3)的值等于()A.32B.1C.-1D.−12解析:f'(-3¿=limΔx→0f(-3+Δx)-f(-3)Δx=limΔx→0(16Δx-1)=−1.答案:C4.若函数f(x)在x0处可导,则limh→0f(x0+h)-f(x0)h的值()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关1C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0,h均无关解析:由导数的定义可知,limh→0f(x0+h)-f(x0)h=f'¿x0),仅与x0有关,而与h无关.故选B.答案:B5.已知某质点运动的方程为s=5-3t2,则该质点在t=1时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6解析:由平均速度和瞬时速度的关系可知,s'|t=1=limΔt→05-3(1+Δt)2-5+3×12Δt=limΔt→0¿-3Δt-6)=-6.答案:D6.如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于.答案:-17.函数f(x)=x+1x在x=2处的导数是.解析:f'(2¿=limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=limΔx→02+Δx+12+Δx-(2+12)Δx=limΔx→0(1-12(2+Δx))=34.答案:348.航天飞机发射后的一段时间内,t时刻的高度h=f(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)f(0),f(1)分别表示什么?(2)求第1s内高度的平均变化率.(3)求第1s时高度的瞬时变化率,并说明它的意义.2分析:先确定f(0),f(1)的含义,再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解.解:(1)f(0)表示航天飞机未发射时的高度,f(1)表示航天飞机发射1s时的高度.(2¿ΔhΔt=f(1)-f(0)1-0=80,即第1s内高度的平均变化率为80m/s.(3)f'(1¿=limΔt→0ΔhΔt=limΔt→0f(1+Δt)-f(1)Δt=limΔt→0¿5(Δt)2+45Δt+120]=120,即第1s时高度的瞬时变化率为120m/s.它说明在第1s附近,航天飞机的高度大约以120m/s的速度增加.9.已知质点做直线运动,且位移s关于时间t的函数解析式是s=s(t)=3t2+2t+1.(1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并分别求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;(2)求当t=2时的瞬时速度.分析:(1)根据平均变化率的概念可求平均速度;(2)即求位移s在t=2处的导数.解:(1)从t=2到t=2+Δt的平均速度为ΔsΔt=s(2+Δt)-s(2)Δt=3(2+Δt)2+2(2+Δt)+1-3×4-2×2-1Δt=14Δt+3(Δt)2Δt=14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17;当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v¿limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0¿14+3Δt)=14.能力提升1.已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则limΔx→0ΔyΔx等于()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2解析: 邻近一点的坐标为(1+Δx,2+Δy),∴2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)2+1=2+2Δx+(Δx)2.∴Δy=(Δx)2+2Δx.3∴ΔyΔx=2+Δx.∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0¿2+Δx)=2.故选A.答案:A2.已知一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是m,时间t的单位是s,则物体在第3s时的瞬时速度是()A.7m/sB.6m/sC.5m/sD.8m/s解析:s'(3¿=limΔt→0s(3+Δt)-s(3)Δt=limΔt→0[1-(3+Δt)+(3+Δt)2]-(1-3+32)Δt=limΔt→0¿5+Δt)=5.答案:C3.已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a的值为()A.2B.-2C.3D.-3解析: f'(1¿=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0a(1+Δx)+3-(a+3)Δx=a,∴f'(1)=a=3.答案:C4.函数y=−1√x在点x=4处的导数是()A.18B.−18C.116D.−116解析: Δy=−1√4+Δx+1√4¿12−1√4+Δx=√4+Δx-22√4+Δx4¿Δx2√4+Δx(√4+Δx+2),∴ΔyΔx=12√4+Δx(√4+Δx+2).∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→012√4+Δx(√4+Δx+2)¿12×√4×(√4+2)=116.∴y'|x=4=116.答案:C5.已知质点运动规律为s¿12>2,则质点在¿3,3+Δt]内的平均速度等于.(g=10m/s2)答案:30+5Δt6.已知成本c与产量q的函数关系式为c=4q2+q-6,求当产量q=10时的边际成本.(注:边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数)分析:由题意知当q=10时的边际成本即为函数c=4q2+q-6在q=10处的导数.解: Δc=4(...
