第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、填空题1．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________．解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.答案2×3n－12．过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则PR·PQ的值为________．解析当直线PQ与x轴重合时，|PR|＝|PQ|＝a.答案a23．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________．解析当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求．当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去)．综上可知，q＝1或－.答案1或－4．方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是________．解析求k＝－sin2x－cosx的值域．k＝cos2x－cosx－1＝－.当cosx＝时，kmin＝－，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－≤k≤1.答案5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于________．解析 S△ABC＝AB·BC·sinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2＋2＝5，所以AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.答案6．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5.点D是边BC上的动点，AD＝xAB＋yAC，当xy取最大值时，|AD|的值为________．解析 AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴△ABC为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，设D(a，b)，由AD＝xAB＋yAC，得∴xy＝.又 D在直线lBC：＋＝1上，∴＋＝1，则＋≥2.∴≤，即xy≤，当且仅当a＝，b＝2时xy取到最大值，此时|AD|＝＝.答案17．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三形的三个顶点，且PF1＞PF2，则的值为________．解析若∠PF2F1＝90°，则PF＝PF＋F1F， PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，解得PF1＝，PF2＝，∴＝.若∠F2PF1＝90°，则F1F＝PF＋PF＝PF＋(6－PF1)2，解得PF1＝4，PF2＝2，∴＝2.综上所述，＝2或.答案2或8．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________．解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g′(x)＝＞0，g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案4二、解答题9．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an＋1－an}为常数列，所以{an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.所以当n＞5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，Tn＝a1＋a2＋…＋an，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.所以Sn＝10．已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)．(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性．解(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，所以f′(x)＝＋＝.①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，2故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；②当a＜0时，由得－1＜x＜－1－a，故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；由得x＞－1－a，故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增．综上，当a≥0时，函数f(x)...
