第46课简单的线性规划一、填空题1.设变量x,y满足约束条件3-60,--20,-30,xyxyy则目标函数z=y-2x的最小值为.2.(2014·全国卷)设x,y满足约束条件-0,23,-21,xyxyxy则z=x+4y的最大值为.3.(2014·广东卷)若变量x,y满足约束条件,1,-1,yxxyy且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=.4.若关于x,y的不等式组0,,-10xyxkxy(k为常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则实数k=.5.若x,y满足约束条件3-560,23-150,0,xyxyy当且仅当x=y=3时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是.6.(2014·温州八校联考)已知a>0,变量x,y满足约束条件1,3,(-3).xxyyax若z=2x+y的最小值为1,则a=.7.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值为.18.(2014·德州期末)设变量x,y满足约束条件3--60,-20,0,0.xyxyxy若y=zx+z+3,则实数z的取值范围为.二、解答题9.设抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,求x+2y的取值范围.10.设变量x,y满足约束条件22,2x4,4--1,xyyxy求目标函数z=3x-y的取值范围.11.(2014·山东卷)已知变量x,y满足约束条件--10,2--30,xyxy当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值25时,求a2+b2的最小值.2第46课简单的线性规划1.-7解析:作出可行域如图中阴影部分所示,联立3,--20,yxy解得A(5,3).当目标函数线过可行域内点A时,目标函数取得最小值,即zmin=3-2×5=-7.(第1题)2.5解析:如图所示,满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界),z=x+4y的最大值即为直线y=-14x+14z的纵截距最大时z的值.结合题意,当y=-14x+14z经过点A时,z取得最大值.由-0,23,xyxy可得A(1,1),所以zmax=1+4=5.(第2题)3.6解析:作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,知可行域的三个“角点”分别为A(-1,-1),B(2,-1),C11,22,经计算知m=zmax=zB=2×2-1=3,n=zA=2×(-1)-1=-3,所以m-n=6.3(第3题)4.-1或0解析:先作出不等式组0,xyx对应的平面区域,如图中阴影部分所示.因为直线kx-y+1=0过定点A(0,1),且不等式kx-y+1≥0表示的区域在直线kx-y+1=0的下方,所以要使不等式组所表示的平面区域是直角三角形,所以有k=0或直线kx-y+1=0与y=x垂直,即k=-1.综上,知k=0或-1.(第4题)5.23-,35解析:作出可行域如图中阴影部分所示,可得到最优解(3,3).把z=ax-y变为y=ax-z,即研究-z的最大值.由图易知,当a∈23-,35时,y=ax-z过点(3,3)时截距最大.(第5题)6.12解析:如图所示,当直线z=2x+y过点A时,z取最小值,于是代入A(1,-2a),得1=2×1+(-2a),4所以a=12.(第6题)7.-4解析:作出y=|x-1|与y=2所表示的封闭区域如图中阴影部分所示.令2x-y=z,即y=2x-z,作直线y=2x,在封闭区域内平移直线y=2x,当直线经过点A(-1,2)时,z取得最小值-4.(第7题)8.3-3,5解析:作出可行域如图中阴影部分所示,y=zx+z+3即z=-31yx,其几何意义为可行域内点(x,y)与P(-1,3)连线的斜率.PA的斜率最大,为6-34-(-1)=35,PO的斜率最小,为0-30-(-1)=-3,故实数z的取值范围为3-3,5.(第8题)9.由y=x2得y'=2x,则在x=1处的切线斜率k=2×1=2,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.在平面直角坐标系中作出可行域如图中阴影部分所示,则A(0,-1),B1,02.5(第9题)令z=x+2y,作直线l0:x+2y=0.当平移直线l0至点A时,zmin=0+2×(-1)=-2;当平移直线l0至点B时,zmax=12+2×0=12.故x+2y的取值范围是1-2,2.10.作出可行域如图中阴影部分所示.(第10题)由图知当直线y=3x-z经过点A(2,0)时,z取最大值6,当直线y=3x-z经过点B1,32时,z取最小值-32,所以z=3x-y的取值范围为3-,62.11.作出可行域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=25,将2a+b=25看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线2a+b=25上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=25距离的平方,即2|-25|5=4.6(第11题)7
