第4课时导数与函数的零点考点一判断零点的个数【例1】(2019·合肥质检)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}
(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数
解(1) f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3
(2)由(1)知g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当025－1－22＝9>0
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点
规律方法利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数
【训练1】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2
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(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由
