高考数学大二轮复习 第二部分 专题3 立体几何 增分强化练（二十二）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

增分强化练(二十二)1．(2019·泉州质检)在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝1，AD＝2BC＝，PD＝.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)M为棱PB上异于B的点，且AM⊥MC，求直线AM与平面MCD所成角的正弦值．解析：(1)证明：在Rt△ABC与Rt△ABD中，因为＝，＝，所以＝，∠ABC＝∠DAB＝90°，即△ABC∽△DAB，所以∠ABD＝∠BCA.因为∠ABD＋∠CBD＝90°，所以∠BCA＋∠CBD＝90°，所以AC⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC,所以平面PBD⊥平面PAC.(2)过A作AE∥DP，因为PD⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，即AE，AB，AD两两相垂直，以A为原点，AB，AD，AE所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝1，AD＝2BC＝，PD＝，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P(0，，)，AB＝(1,0,0)，BP＝(－1，，)，CB＝，设BM＝λBP，λ∈(0,1]．则AM＝AB＋λBP＝(1－λ，λ，λ)，CM＝CB＋λBP＝(－λ，－＋λ，λ).因为AM⊥MC，所以AM·CM＝0，即(1－λ)(－λ)＋λ＋3λ2＝0，解得6λ2－2λ＝0，λ＝0或λ＝.因为λ∈(0,1]，所以λ＝.所以AM＝，即M.所以DC＝，DM＝，设n＝(x0，y0，z0)为平面MCD的一个法向量，则，所以，所以取n＝，设直线AM与平面MCD所成角为θ，所以sinθ＝|cos〈AM，n〉|＝＝，所以直线AM与平面MCD所成角的正弦值.2．(2019·济宁模拟)如图，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，且AB＝2DE＝2BE，点C是AB中点，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置．(1)求证：平面PBC⊥平面PEB；(2)若PE与平面PBC所成的角为45°，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．解析：(1)证明：∵AB∥DE，AB＝2DE，点C是AB中点，∴CB∥ED，CB＝ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD∥EB，又EB⊥AB，∴CD⊥AB，∴CD⊥PC，CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC，∴EB⊥平面PBC，又∵EB⊂平面PEB，∴平面PBC⊥平面PEB.(2)由(1)知EB⊥平面PBC，∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角，∴∠EPB＝45°，∵EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，∴△PBE为等腰直角三角形，∴EB＝PB＝BC＝PC，故△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结PO，则PO⊥BC，∵EB⊥平面PBC，又EB⊂平面EBCD，∴平面EBCD⊥平面PBC，又PO⊂平面PBC，∴PO⊥平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，设BC＝2，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，－1,0)，P(0,0，)，从而DE＝(0,2,0)，PE＝(2,1，－)，设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由得，令z＝2得m＝(，0,2)，又平面PBC的一个法向量n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.3．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值．解析：(1)证明：如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，A1A＝(0,0，－4)，A1M＝(－1，，－2)，A1N＝(－1,0，－2)，MN＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角AMA1N的正弦值为.4．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角BECC1的正弦值．解析：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，CE＝(1，－1,1)，CC1＝(0,0,2)．设平面EBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即所以可取m＝(1,1,0)．于是cos〈n，m〉＝＝－.所以，二面角BECC1的正弦值为.